Рівняння спільного перпендикуляра. Відстань між двома мимобіжними прямими

Нехай дві мимобіжні прямі задані своїми канонічними рівняннями

: .

Поставимо задачу відшукання рівняння спільного перпендикуляра до цих прямих, тобто рівняння прямої, яка перетинає задані прямі та перпендикулярна до них. Водночас виведемо співвідношення для відшукання відстані між цими прямими. Існування та єдиність спільного перпендикуляра обґрунтовується в шкільному курсі геометрії.

Для побудови спільного перпендикуляра до прямих та через пряму проведемо площину , яка паралельна до прямої . Для цього використаємо точку та вектори , які паралельні до . Аналітично рівняння площини запишеться у вигляді

.

Нехай після необхідних обчислень одержана рівність запишеться у вигляді . Позначимо через вектор, який перпендикулярний до площини . Після цього проведемо дві площини та , кожна з яких перпендикулярна до площини та проходить через прямі та відповідно. При цьому площина визначається точкою та паралельними до неї векторами та , а площина – точкою та паралельними до неї векторами та .

Рівняння площин та можна записати у вигляді рівностей

, .

Пряма , по якій перетинаються площини та , буде шуканим спільним перпендикуляром до прямих та (рис. 4). Рівняння спільного перпендикуляра до прямих та можна записати у вигляді системи рівнянь, що задають площини та .

Відстань між прямими та можна знайти, як відстань від точки до площини , тобто

.