Лабораторная работа № 3. Все химико-технологические процессы целесообразно проводить при условиях, максимально приближенных к оптимальным

МЕТОД ГАУССА-ЗЕЙДЕЛЯ

3.1. Постановка задачи

Все химико-технологические процессы целесообразно проводить при условиях, максимально приближенных к оптимальным. Для определения таких условий необходимо провести оптимизацию процесса. В первую очередь, определяются факторы, влияющие на процесс. С этой целью целесообразно провести корреляционный анализ для всех факторов процесса и параметра оптимизации. Из выбранных факторов определяются те, которыми можно управлять. Для каждого фактора определяется область существования и точность определения факторов (см. рис.3.1.).

Рис.3.1. Область существования факторов.

Поиск осуществляется по одному фактору, значения остальных факторов зафиксированы.

3.2.Метод реализации

Для нахождения экстремального значения необходимо определить область существования факторов. Выбор области существования факторов производится с учётом ограничений: технологических, технических, принципиальных. Далее осуществляется выбор шага по каждому фактору. Величина шага должна быть не менее чем точность определения фактора, и не более чем интервал изменения факторов.

Шаг определяется по формуле:

Исходная точка поиска может быть расположена в любом месте области поиска, но так, чтобы она отстояла от границы области поиска не менее чем на один шаг. Поиск осуществляется по одному фактору, значения остальных остаются зафиксированы. Движение начинается с выбранной точки. Вначале определяется значения функции в выбранной точке и принимается за исходное значение.

Рис.3.2. Особенности поиска экстремума.

Совершается шаг и определяется значение функции отклика в данной точке.

Если полученное значение лучше предыдущего (больше при поиске максимума, меньше при поиске минимума), то продолжается движение в данном направлении. Движение продолжается до тех пор, пока в очередной точке значение параметра оптимизации не станет хуже, в этом случае необходимо вернуться в предыдущую точку, зафиксировать координаты точки и значение функции отклика и пойти по другому фактору.

Если величина отклика в полученной точке хуже, чем в исходной, то необходимо вернутся в исходную точку и поменять направление движения, для чего знак изменяется на противоположный: dX:= -dX.

В полученной точке вычисляется значение выходного параметра. Если полученное значение хуже, чем в исходной точке, то движение по этому фактору не производится.

После завершения поиска по всем факторам проверяется, насколько изменилась величина отклика по сравнению с предыдущим значением. Если разность между этими значениями больше, чем точность определения параметра оптимизации, то поиск продолжается, но с меньшим шагом:

Поиск продолжается до тех пор, пока величина шага не станет меньше точности определения факторов.

Основным существенным недостатком метода Гаусса-Зейделя является то, что в случае многоэкстремальной функции может быть найден локальный экстремум. Поэтому этот метод целесообразно использовать для функций с одним экстремумом.

В результате выполнения лабораторной работы должна быть получена таблица, содержащая значения факторов и соответствующую им величину отклика, должно быть указано, сколько раз и на каком шагу изменялся шаг.

В таблице 3.1 приведена идентификация основных переменных.

Таблица 3.1 - ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Переменная в мат. Описании	Переменная в программе	Физический смысл переменной	Значение
Xni, Xki	Xn[j], Xk[j]	Границы существования факторов	задаются
N	N	Количество факторов	Задается
Y	Y	Значение выходного параметра	Вычисл.
Ym	Ym	Значение экстремума	Вычисл.
Xi	X[j]	Координата точки	Вычисл.
Xmi	Xm[j]	Координаты экстремума	Вычисл.
Dx	dx[j]	Шаг изменения j-того параметра	Вычисл.
EpsXj	Espx[j]	Точность определения j-того фактора	Задаются
EpsY	epsy	Точность определения параметра	Задается
Ключ поиска	kl	Логическая переменная	Задается