Лабораторная работа № 2. Цель всякого исследования заключается в получении определенного объема новой информации об исследуемом веществе или процессе его получения

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.

ПОИСК ЭКСТРЕМУМА МЕТОДОМ БОКСА-УИЛСОНА

2.1 Постановка задачи

Цель всякого исследования заключается в получении определенного объема новой информации об исследуемом веществе или процессе его получения. Применение компьютеров на различных стадиях планирования эксперимента и обработки экспериментальных данных избавляет от утомительных расчетов и позволяет исключить возможные ошибки вычислений. Уравнения регрессии, полученные на основе планирования эксперимента, используются в дальнейшем для оптимизации технологических процессов или свойств получаемых материалов. Целью проведения автоматизированного эксперимента является нахождение оптимальных условий проведения химико-технологических процессов. Независимые переменные величины, влияющие на протекание химического процесса, называют факторами. Протекание химико-технологического процесса количественно характеризуется одной или несколькими величинами, которые в теории планирования эксперимента называют функциями отклика. В качестве параметра оптимизации могут использоваться:

технологические (степень превращения, степень улавливания, качество продукта);

экономические (прибыль, удельные затраты на процесс, себестоимость продукта) и другие.

Под математическим описанием химико-технологического процесса понимают систему уравнений, связывающих функции отклика с влияющими факторами. Ценность математического описания заключается в том, что оно:

1-дает качественную и количественную информацию о влиянии каждого фактора,

2-позволяет рассчитать значение функции отклика при заданном режиме ведения технологического процесса,

3-может служить основой для оптимизации.

Любой технологический процесс имеет очень много влияющих факторов, из которых необходимо выбрать существенно влияющие (с помощью корреляционного анализа), а из выбранных факторов определить те, которыми можно управлять. Для выбранных влияющих технологических параметров определяется область существования для данного процесса. Это область поиска экстремумов. В основу этого метода положено определение направления градиента и движение по нему с определенным шагом.

2.2 Суть метода

Для нахождения экстремального значения необходимо определить область существования факторов, которая выбирается с учётом следующих ограничений:

- Технологических;

- Технических;

- Принципиальных.

Внутри области существования факторов выбирается исходная точка поиска, при этом исходная точка должна находиться от границы на расстоянии не менее чем на 3 шага. Шаг определяется путем деления интервала поиска на число шагов в области

dX_j=(Xкон_j-Xнач_j)/N

После выбора исходной точки она принимается за центр плана полного факторного эксперимента

Xc_j=Xn_j+8·dX_j

С помощью полного факторного эксперимента ищут математическое описание химико-технологического процесса в виде уравнения

y= b₁ + b₁·X₁ + b₂·X₂ + b₃·X₃ +...

Первым этапом автоматизированного эксперимента является создание матрицы кодированных переменных. Кодирование производят по следующей формуле:

Xкод_j=(Xнат_i,j-Xc_j)/dX_j

Связь между количеством влияющих факторов (k), и количеством необходимых опытов (N) полного факторного эксперимента определяется для двух уровней варьирования из соотношения: N=2^k.

Например, для трехфакторного эксперимента матрица кодированных переменных имеет вид:

N	х0	х1	х2	Х3
	+1	+1	+1	+1
	+1	-1	+1	+1
	+1	+1	-1	+1
	+1	-1	-1	+1
	+1	+1	+1	-1
	+1	-1	+1	-1
	+1	+1	-1	-1
	+1	-1	-1	-1

Матрица содержит полный набор всех возможных комбинаций уровней варьирования факторов, отсюда полный факторный эксперимент получил свое название.

После создания матрицы кодированных переменных производится расчет значений влияющих факторов для каждой строки матрицы, используя следующий принцип декодирования.

X_натj=Xкод_j·dX_j+Xc_j

Для исследуемой функции, используя значение влияющих факторов, находят величины отклика (Y).

На основании результатов полного факторного эксперимента вычисляют коэффициенты регрессии, пользуясь следующими формулами

b_[0]=SUM(Y_[j])/N,

b_[j] = SUM(X_[i,j]*Y_[i])/N,

где X_[i,j] - значение кодированной переменной,

N - количество опытов.

Некоторые из коэффициентов регрессии могут оказаться пренебрежимо малыми - незначимыми. Значимость определяется по критерию Стьюдента с помощью t-отношения, вычисляемого по формуле

T = abs(b_[j])/S_b > t_t,

где S_b - дисперсия коэффициента.

Формулировка критерия Стьюдента:

Если вычисленное значение t-отношения больше табличного, то коэффициент значимо отличается от нуля и фактор существенно влияет на функцию отклика, иначе соответствующий член можно исключить из уравнения (коэффициент принимается равным нулю).

Получив уравнение регрессии, необходимо проверить его адекватность, для чего вычисляют оценку дисперсии адекватности по формуле

S²_ad = SUM (Yr_[i] - Y_[i])² / (N-L),

Где:

Y_[i] - величина отклика, рассчитанное по уравнению целевой функции, Yr_[i] - величина отклика, рассчитанная по уравнению регрессии, L - количество значимых коэффициентов в уравнении регрессии.

Рассчитывается значение F-отношения

F=S²_ad / S²_wosp;

И адекватность уравнения определяется при помощи критерия Фишера:

если расчетное значение F-отношения меньше табличного значения F < F_t, то уравнение адекватно и может быть использовано для дальнейшего движения по градиенту.

Для всех факторов величина шага движения к оптимуму рассчитываем по формуле:

ddx_[j] = b_[j] * dx_[j]

Движение к оптимуму начинают из центра плана, который был использован для получения уравнения регрессии. Значение факторов X_[j] на каждом новом шаге оптимизации находят путем прибавления ddx_[j] к соответствующим предыдущим значениям. Так осуществляется оптимизация по методу Бокса-Уилсона, получившему название метода крутого восхождения.

Движение начинается с центра плана в сторону наиболее быстрого увеличения параметра оптимизации. Это происходит благодаря тому, что шаги ddx_[j] пропорциональны коэффициентам регрессии.

Движение по градиенту прекращают при выполнении следующих условий:

1-значение факторов X_[j] вышли за допустимые границы,

2-достигнут экстремум параметра оптимизации (значение Ym отличается от полученного ранее экстремального значения Ypr менее чем точность определения параметра оптимизации).

Недостатком данного метода является то, что в ходе крутого восхождения может быть достигнут локальный экстремум.

2.3 Результаты работы

В результате выполнения лабораторной работы должны быть представлены следующие данные:

- таблица кодированных переменных (аналогично вышеприведенной),

- таблица натуральных переменных,

- значения коэффициентов уравнения регрессии с указанием их значимости,

- значение F-отношения и сообщение об адекватности уравнения регрессии,

- уравнение регрессии в окончательном виде,

- таблица результатов поиска экстремума (пример приведен в таблице. 2.1).

Таблица 2.1 - РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА

Номер шага Ip	Координаты точки	Выходной параметр Y
X1	X2	X3

Идентификация основных переменных, использованных в алгоритме метода Бокса-Уилсона, приведена в таблице 2.2. Ниже приведена блок-схема алгоритма.

нет да

Условие 1

(Xj<Xnj) or (Xj>Xkj) or (Y[1]<Ypr)

да

нет

да

нет

нет да

нет

нет

да

Таблица 2.2 - ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Переменная в мат. Описании	Переменная в программе	Физический смысл переменной	Значение
X[i,j]	Xk[i,j]	массив кодированных переменных	Вычисл.
X nat[j]	Xnat[i,j]	массив натуральных переменных	Вычисл.
K	K	число факторов	Задаются
N	N	Количество опытов	Задаются
L	L	Количество значимых коэффициентов уравнения регрессии	Вычисл.
	Ip	номер шага по градиенту
Sad	S02	дисперсия адекватности	Вычисл.
Swosp	S2	дисперсия воспроизводимости	Задаются
Xc[j]	Xc[j]	центр плана	Вычисл.
dx[j]	dx[j]	интервал варьирования	Вычисл.
b[j]	b[j]	Коэффициент уравнения регрессии	Вычисл.
Sb	Sb	дисперсия коэффициента	Вычисл.
tt	tt	табличное значение коэффициента Стьюдента	Задаются
T	tr	расчетное значение коэффициента Стьюдента	Вычисл.
ddx[j]	ddx[j]	шаг движения по градиенту	Вычисл.
Ft	Ft	табличное значение отношения Фишера	Задаются
F	Fr	расчетное значение отношения Фишера	Вычисл.

Контрольные вопросы:

1. Постановка задачи оптимизации.

2. Методика постановки активного эксперимента и обработки экспериментальных данных.

3. Суть метода Бокса-Уилсона.

4. Обсуждение результатов поиска экстремума.