Лабароторные работы

1. Лабораторная работа № 1
МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

1.1.Постановка задачи

Химико-технологические процессы должны протекать в оптимальных условиях с целью получения наибольшей прибыли. Определение этих условий заключается либо в нахождении экстремумов функции, описывающей данный процесс, либо в подборе таких значений технологических параметров, при которых параметр оптимизации приобретает наилучшее значение.

Метод Монте-Карло является одним из методов поиска экстремумов. Он заключается в генерировании случайных значений влияющих факторов процесса в пределах области поиска, определении при них значения параметра оптимизации и выборе из полученных значений наилучшего (при поиске минимума функции – наименьшего, при поиске максимума – наибольшего). Поскольку значения факторов нормально распределены во всей области их существования, метод Монте-Карло позволяет найти глобальный экстремум. Для получения нормального распределения используется стандартная процедура языка Паскаль Random.

1.2. Метод реализации.

В первую очередь, необходимо определить область поиска для каждого фактора с учетом ограничений: технических, технологических, принципиальных.

С помощью процедуры Randomize производится инициализация генератора случайных чисел на языке Паскаль. Функция Random возвращает случайную величину типа real от 0 до 1. Значение фактора определяется по следующей формуле (предварительно вычисляется интервал изменения параметров):

del_j =(X_kj - X_nj)

Х_j:=Х_nj + Random · del_j

После нахождения для данной точки значения всех факторов определяют величину отклика. Полученное значение сравнивают с предыдущим наилучшим значением. Если полученное в данной точке значение лучше предыдущего (при поиске минимума – меньше, при поиске максимума – больше), то запоминаются координаты этой точки и наилучшее значение параметра оптимизации. Указанный набор операций выполняется для всех точек (N), нормально распределенных внутри области существования факторов. Точность определения экстремума зависит от количества выбранных точек внутри области. Чем больше точек, тем точнее определяется экстремум.

В результате выполнения работы должна быть представлена таблица, отражающая точность определения экстремальных значений функции (минимум, максимум) в зависимости от количества испытаний. Таблица содержит число опытов, координаты найденных экстремумов, значение функции в экстремальных точках. Расчеты проводятся при значениях N, равных 100, 1000, 10000, 100000.

Далее приводится таблица идентификации основных переменных, использованных в алгоритме метода Монте-Карло.

Блок-схема метода Монте-Карло

Таблица 1.1 - ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Перемен. В мат. Описании	Переменная в программе	Физический смысл переменной и ее размерность	Значение
Xni, Xki	Xn[j], Xk[j]	Границы существования факторов	Задаются
K	K	Количество факторов	Задаются
Y	Y	Значение выходного параметра	Вычисл.
Ym	Ym	Экстремальное значение выходного параметра	Вычисл.
Xj,	X[j],	Координата точки	Вычисл.
Delj	Del[j]	Интервал изменения параметров	Вычисл.
Хмj	Xm[j]	Координата точки экстремума	Вычисл.
N	N	Количество точек поиска	Задаются
Kl	Kl	Ключ поиска экстремума	Задаются

Таблица 1.2 - ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ

N вар	целевая функция	Область поиска
Х1	Х2	Х3
	(sin(X[1])-1)*sin(X[1]-1)-cos(x[2])-X[3]	1 5	1 5	1 2
	sin(X[1]+X[2])+cos(X[2])*sin(x[3])-X[3]	1 5	1 5	1 3
	sin(X[1])*sin(X[1])+cos(X[2]-1)-X[3]	1 5	1 5	1 3
	sin(X[1])*sin(X[1])+cos(X[2]-2)+X[3]	1 10	1 10	1 5
	cos(X[1])*cos(X[1])+cos(X[2])+X[3]	1 10	1 10	1 5
	sin(X[1])*sin(X[1])+sin(X[2])-X[3]	1 10	1 10	1 2
	0.1*X[1]-cos(X[1])*cos(X[1])+sin(X[2])-X[3]	1 5	1 5	1 3
	sin(X[1])-cos(X[2])+sin(X[3])*sin(x[3])	1 10	1 10	1 5
	sin(X[1])*sin(X[1])+cos(X[2])/3-X[3]	1 5	1 5	1 2
	sin(X[1])*cos(X[1])+cos(X[2])-X[3]	1 5	1 5	1 3
	sin(X[1])*cos(X[2])-cos(X[3])	1 5	1 5	1 3
	sin(X[1])*cos(X[2]-2)-X[3]	1 10	1 10	1 5
	sin(X[1])-cos(X[2])/x[2]-X[3]	1 5	1 5	1 2
	sin(X[1]+X[2])/X[2]-cos(X[3])	1 5	1 5	1 3
	sin(X[1])+sin(X[2]-1.2)+sin(X[3])	1 5	1 5	1 3
	sin(X[2])+(cos(X[2])-1.2)+cos(X[3])	1 10	1 10	1 5
	sin(X[1])+sin(X[2])-X[3]	1 5	1 5	1 3
	sin(X[1])+cos(X[3])-X[2]*0.3	1 10	1 10	1 5
	sin(X[1]-1)-cos(X[3])-X[2]	1 5	1 5	1 2
	sin(X[1]+x[2])+cos(X[3])-X[3]	1 5	1 5	1 3
	sin(X[1])+2*X[2]-cos(X[2])+X[3]	1 5	1 5	1 3
	sin(X[1]+0.5)-X[2]+cos(X[3])	1 10	1 10	1 5
	cos(X[1]+0.5)-X[1]+cos(X[2]-2)-X[3]	1 10	1 10	1 5
	cos(X[1]/X[2])+X[1]+sin(X[2])+X[3]/X[1]	1 10	1 10	1 2
	X[1]-cos(X[1])-X[2]*sin(X[2])+X[3]/X[2]	1 5	1 5	1 3
	sin(X[1])*sin(X[2])*sin(X[3])	2 6	2 6	2 4

Примечание: вышеуказанные варианты целевой функции использовать для всех последующих лабораторных работ.

Контрольные вопросы:

1. Постановка задачи оптимизации.

2. Суть метода Монте-Карло.

3. Обсуждение результатов поиска экстремума.