Распределение вероятностей непрерывных случайных величин

Обозначим через некоторую непрерывную случайную величину, которая может принимать любые числовые значения из промежутка (рис. 2).

Пусть – некоторое числовое значение из этого промежутка. Вероятность того, что величина принимает значения, заключенные между и , очевидно, пропорциональна и зависит от :

.

Отсюда

.

Рис. 2. Кривая распределения вероятностей случайной величины

Функция называется плотностью распределения вероятностей случайной величины . График функции называется кривой распределения вероятностей случайной величины .

Важнейшее свойство кривой: вероятность того, что случайная величина примет значение, принадлежащее промежутку и , равна площади, ограниченной кривой распределения вероятностей, осью абсцисс и двумя ординатами при значениях случайной величины и . Это следует из того, что произведение выражает вероятность того, что случайная величина окажется в диапазоне значений и , и в то же время это – площадь, ограниченная вышеописанными координатами. Отсюда следует, что, если нам известна плотность распределения вероятностей случайной величины , то вероятность того, что ее значения находятся в интервале и , равна интегралу

.

Кроме плотности распределения вероятностей для непрерывных случайных величин, используется еще занимающая очень важное место в теории надежности так называемая функция распределения случайной величины , которая определяется равенством

,

где – вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее .

Если для функции распределения случайной величины есть таблица или график, то вероятность того, что в пределах будет иметь место случайное событие, равна разности значений ее функции на концах этого промежутка.

.

Кривая плотности распределения вероятностей случайной величины строится таким образом, что вся площадь под кривой распределения равна единице.

.

Характеристиками случайной величины являются математическое ожидание, мода и медиана.

Естественно, что возможно мысленно представить себе неограниченное число опытов, которое бы дало нам истинное значение вероятности, но, как правило, мы имеем дело с ограниченной случайной выборкой из бесконечной возможной совокупности или из генеральной совокупности. Число элементов случайной выборки из генеральной совокупности называется объемом выборки.

Выборка называется репрезентативной (представительной), если она в основном правильно отражает особенности генеральной совокупности.

Выборка, все члены которой записаны в виде упорядоченного, возрастающего или убывающего по своей числовой величине ряда, называется вариационным рядом.

Размахом вариационного ряда называется разность числовых значений крайних членов ряда.

Модой называется наиболее вероятное значение случайной величины или то значение этой величины, частота которого наибольшая.

Медианой называется такое среднее значение, которое делит совокупность всех значений случайной величины на две равные по количеству членов ряда части, причем в одной из них все значения случайной величины меньше медианы, а в другой – больше.

Для того чтобы определить медиану, необходимо расположить все члены ряда в возрастающем или убывающем порядке. При нечетном числе членов ряда – – медиана равна , при четном – – медиана равна .

Математическое ожидание случайной величины – теоретическая величина, к которой приближается среднее значение случайной величины при большом числе испытаний.

Для непрерывной случайной величины, все значения которой принадлежат отрезку , математическое ожидание определяется формулой

.

Для дискретной случайной величины математическим ожиданием называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений.

.

Дисперсия случайной величины – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

.

Для непрерывной случайной величины:

.

Для дискретной случайной величины:

.

Среднеквадратическое отклонение случайной величины – это корень квадратный из ее дисперсии.

.

Коэффициент вариации – отношение среднеквадратического отклонения к математическому ожиданию.

.

Рассмотрим физический смысл приведенных выше генеральных характеристик.

Математическое ожидание – это среднее значение, центр распределения случайной величины. Дисперсия является характеристикой рассеивания случайной величины, разбросанности ее значений около математического ожидания. Чем больше рассеиваются отдельные значения случайной величины, тем больше будет дисперсия, потому что суммируются квадраты отклонений от центра. Если коэффициент вариации = 0,1, то это значит, что среднеквадратическое отклонение случайной величины составляет одну десятую от ее математического ожидания.