Площадные фракталы

Строительными элементами площадных геометрических фракталов служат плоские полигоны, чаще всего трех- и четырехугольники.

Самым знаменитым фракталом этого класса является треугольник Серпинского, строящийся путем разбиения треугольника – не обязательно равностороннего – средними линиями на четыре подобных треугольника, исключения центрального и рекурсивного разбиения угловых треугольников до получения площадных элементов желаемого или минимально видимого разрешения.

Алгоритм построения треугольника Серпинского (рис. 23).

1. Внутри исходного треугольника выбирается центральная точка:

2.
Задается число m итераций генерирования случайных точек.

3.
В цикле для k от 1 до m:

– случайным образом выбирается номер n одной из вершин треугольника p_n (генерируется случайное число в интервале от 1 до 3).

– вычисляется очередная точка q_k в середине отрезка q_{k- 1} p _n:

Благодаря выбору точки q ₀ внутри треугольника p ₁ p ₂ p ₃ центр отрезка q ₀ p_n (точка q ₁) никогда не окажется внутри центрального треугольника, отмеченного на рисунке пунктиром. При достаточно большом числе итераций m генерируемые точки q_k образуют случайный узор, предельная форма которого стремится к треугольнику Серпинского.

Следует отметить, что небольшое число начальных точек q_k все-таки может попасть в запретные области. В частности, это случится при выборе точки q ₀ в центре треугольника p ₁ p ₂ p ₃.

Аналогично треугольнику Серпинского может быть построена треугольная пирамида Серпинского.