Понятие фрактала. Фрактал Мандельброта. Фрактал Джулио (Жюлио)

Фрактал (лат. fractus — дроблёный, сломанный, разбитый) — геометрическая фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть составленная из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре целиком. В математике под фракталами понимают множества точек в евклидовом пространстве, имеющие дробную метрическую размерность (в смысле Минковскогоили Хаусдорфа), либо метрическую размерность, отличную от топологической.

Понятие фрактал было введено Бенуа Мандельбротом в 1975 году [1].

Книга, содержащая его ранние статьи по фракталам и исследования фракталов в финансах, недавно переведена на русский язык [2]. В настоящее время происходит интенсивное изучение моделей финансовой математики, которые основываются на фракталах. В последнее время фракталы стали использовать в задачах компьютерной обработки графической информации, а также для описания работы крупных серверов.

Фрактал — объект, обладающий свойством самоподобия (автомодельности). Это объект, который можно дробить бесконечное число раз, и при этом каждая часть наследует геометрические свойства всего объекта. Достаточно подробную историю фракталов и многие детерминистические алгоритмы их построения можно найти в [5]. Наиболее полной и математически строгой книгой то геометрии и математическому анализу фракталов является [6].

Одни из самых распространенных фракталов — это, так называемые, фракталы вырезающего типа (cut-off). Для их построения берется некоторая геометрическая фигура, из которой вырезаются подобые куски уменьшающего размера. Наиболее известный из таких фракталов, по-видимому, канторово множество. Построение его широко известно, тем не менее, мы напомним это построение. На нулевом шаге построения берется отрезок . Первым шагом отрезок делится на три равные части и средняя часть (интервал с открытыми концами) вырезается. Вторым шагом каждый из оставшихся крайних отрезков делится опять на три равные части и каждая из серединок удаляется. Каждый из полученных на -ом шаге отрезков в свою очередь делится на три части и середина (с открытыми концами) удаляется. Так мы получаем отрезки -го шага. Такой процесс повторяется потенциально до бесконечности. Точки, принадлежащие, невырезанным отрезкам образуют канторово множество.