Классификация методов принятия решений 3 страница

§ 3.1.4. Подсчет количественной оценки качества альтернатив (иерархический синтез)

Рассмотрим иерархию на рисунке 13.

Иерархический синтез используется для общего ранжирования альтернатив относительно цели, т.е. для подсчета количественной оценки качества альтернатив.

Е11

Е12

Е22

Е32

Е23

Е33

Е13

А1

А2

Рис. 13. Пример трехуровневой иерархической структуры

Алгоритм иерархического синтеза для вышеприведенного примера:

Определим векторы приоритетов относительно последнего уровня иерархии. Для этого строим матрицы парных сравнений и вычисляем для каждой из матриц максимальные собственные значения (для оценки однородности суждений) и главные собственные вектора (приоритеты):

Аналогичным образом обрабатываем матрицы парных сравнений для вышележащих уровней. Данные матрицы построены для того, чтобы определить предпочтительность элементов определенного иерархического уровня относительно элементов вышележащего.

Осуществляем иерархический синтез. Последовательно определяем вектора приоритетов альтернатив относительно элементов , находящихся на всех иерархических уровнях. Для предпоследнего уровня . Вычисление векторов приоритетов проводится в направлении от нижних уровней к верхним с учетом конкретных связей между элементами, принадлежащими различным уровням. Вычисление производится путем перемножения соответствующих векторов и матриц.

Результирующий вектор приоритетов альтернатив относительно основной цели .

Пример (из книги Т. Саати). Рассмотрим общее благополучие индивидуума – высший уровень иерархии. На этот уровень в основном влияют детские, юношеские и взрослые впечатления. Факторы развития и зрелости, отражающиеся в благополучии, могут включать как влияние отца и матери в отдельности, так и их совместное влияние как родителей, социоэкономический фон, отношения с братьями и сестрами, группу ровесников, школьное обучение, религиозный статус и т.д.

На перечисленные выше факторы, которые составляют второй уровень иерархии, влияют соответствующие критерии. Например, влияние отца может быть разбито на категории, включающие его темперамент, строгость, заботу и привязанность. Отношение с братьями и сестрами можно дальше характеризовать их количеством, разницей в возрасте, полом; моделирование воздействия и роли ровесников обеспечивает более яркую картину влияния друзей, обучения в школе и учителей.

В качестве альтернативной основы описания для второго уровня можно включить чувство собственного достоинства, уверенность в будущем, адаптируемость к новым людям и новым обстоятельствам и т.д., влияющих или находящихся под влиянием расположенных выше элементов.

Более полная основа психологической предыстории может включать несколько сотен элементов на каждом уровне, выбранных экспертами и расположенных таким образом, чтобы получить максимальное понимание рассматриваемого индивидуума.

Рассмотрим ограниченный случай, где испытуемый чувствует, что уверенность в его силы подорвана и его социальная приспособляемость ослаблена запретами в детстве. Ему задают вопросы только о детских впечатлениях и просят попарно установить связь между следующими элементами на каждом уровне.

Построим иерархию, в которой: ОБ – общее благополучие; Д – чувство собственного достоинства; У – чувство уверенности в будущем; А – способность адаптироваться к другим; П – явная привязанность, проявленная по отношению к субъекту; Э – идеи строгости, этики; Н – действительное наказание ребенка; Л – подчеркивание личной приспособляемости к другим; М – влияние матери; О – влияние отца; Р – влияние обоих родителей.

ОБ

Д

У

А

П

Э

Н

Л

Р

О

М

Рис. 14. Иерархическая схема общего благополучия индивидуума

Осуществим иерархический синтез:

Индивидууму посоветовали больше общаться с отцом с целью уравновешивания влияния родителей.

В приведенном примере некоторые матрицы несогласованные. Однако следует понимать, что человеку в данной ситуации нельзя было повторно задавать одни и те же вопросы до тех пор, пока все матрицы не стали бы однородными.

После решения задачи синтеза иерархии, оценивается однородность всей иерархии с помощью суммирования показателей однородности всех уровней, приведенных путем взвешивания к первому иерархическому уровню.

Пример. Рассмотрим иерархию из предыдущего примера. Пусть ИО1 – индекс согласованности 1-ого уровня; ИО₂₁, ИО₂₂ и ИО₂₃ – индексы согласованности второго уровня; ИО₃₁, ИО₃₂, ИО₃₃ и ИО₃₄– индексы согласованности третьего уровня. Тогда индекс однородности иерархии можно определить следующим образом:

Для оценки отношения однородности используют следующее выражение:

, где

Однородность иерархии считается удовлетворительной при значениях .

§ 3.2. Метод сравнения объектов относительно стандартов [2]

Метод парного сравнения альтернатив не всегда может быть эффективно применен в некоторых практических ситуациях:

эксперту может быть предложено для анализа более девяти альтернатив, что существенно усложняет построение согласованных матриц парных сравнений;

при добавлении новых альтернатив изменяется порядок ранее прошедших альтернатив относительно критериев качества;

альтернативы могут поступать эксперту для сравнения не одновременно, а через определенные промежутки времени. Поэтому невозможно попарно сравнивать объекты.

Для решения проблемы сравнения и оценки альтернатив в указанных ситуациях наиболее целесообразен метод сравнения альтернатив относительно стандартов. Стандарт устанавливает уровень качества объекта относительно критерия качества. Например, критерию «ликвидность» для объекта «экономические выгоды обеспечения банковского кредита» может быть назначено три стандарта, характеризующих соответственно высокий (H), средний (M) и низкий (L) уровень ликвидности. Каждый стандарт отождествляется, как правило, с некоторым существующим на практике эталоном качества, так высокий, средний и низкий стандарты по критерию «ликвидность» могут быть отождествлены с драгоценными металлами, ценными бумагами и недвижимостью. В иерархии стандарты присваиваются элементам, имеющим непосредственную связь с альтернативами (рисунок 15). Число стандартов по каждому такому элементу может быть различно и определяется экспертом.

Е11

Е22

Е12

Еn2

......

Е13

Е23

Еk3

Е23

..........

...................................................

Е1S

ЕpS

Е1S

................

L

M

H

M

HM

H

L

ML

L

M

H

A1

Aq

A2

............

Рис. 15. Иерархическая структура с учетом стандартов

По каждому стандарту экспертом устанавливается относительная степень предпочтения, которая указывает значимость стандарта для эксперта. Численное значение каждого стандарта определяется их попарным сравнением по шкале отношений и вычислением главного собственного вектора.

Введем следующие обозначения:

- множество стандартов, включающее два подмножества, устанавливающие соответственно основную и и дополнительную шкалы. Основная шкала включает градации . Дополнительная шкала может включать градации , где HH, HM, ML, LL – соответственно очень высокое, промежуточное между высоким и средним, промежуточное между средним и низким, очень низкое значение стандартов.

Для каждого элемента иерархии, непосредственно связанного со стандартами, устанавливается подмножество . Стандарты, входящие в подмножества , сформированные относительно , попарно сравниваются по девяти балльной шкале и вычисляются вектора .

ЛПР присваивает каждой альтернативе значение одного стандарта. Процедура идентификации проводится по всем элементам . В результате идентификации строится матрица А следующего вида:

Элементы матрицы представляют собой численные значения стандартов, соответствующие определенной альтернативе и элементу . Таким образом, столбцы в матрице А представляют собой ненормированные векторы приоритетов альтернатив по соответствующим элементам .

Для получения нормированным векторов приоритетов альтернатив, необходимо все элементы каждого столбца разделить на сумму элементов соответствующего столбца, или, что тоже самое, умножить матрицу А на диагональную матрицу S следующего вида:

Множество нормированным векторов приоритетов альтернатив относительно всех элементов нижнего уровня определяется соотношением: .

Далее алгоритм иерархического синтеза такой же как и в методе парных сравнений.

В методе сравнения альтернатив относительно стандартов, добавление новой альтернативы не нарушает порядок ранее проранжированных альтернатив.

Пример. Пусть задана иерархия, представленная на рисунке 16.

H

L

M

................

A1 A2 A3 A4

Рис. 16. Одна из ветвей иерархии с учетом стандартов

Пусть матрица предпочтений стандартов для элемента имеет вид:

Вектор , т.е. первая и третья альтернативы отвечают среднему стандарту по рассматриваемому критерию, а второй и четвертый - низкому стандарту. Добавим еще одну альтернативу и присвоим ей значение, соответствующее высокому стандарту:

, или нормированный .

§ 3.3. Многокритериальный выбор в иерархиях с различным числом и составом альтернатив под критериями [2]

В практике встречаются задачи, когда ранжируемые по множеству критериев альтернативы оцениваются экспертом не по всем критериям. Задача характерна для ситуаций, когда множество критериев, выделенных для всех рассматриваемых альтернатив, является избыточным относительно одной или нескольких альтернатив. В таком случае эксперт имеет разное количество альтернатив под каждым критерием или под их частью.

Рассмотрим методику определения вектора приоритета альтернатив для случая, когда иерархия имеет один уровень критериев, объединенных фокусом (целью),и разное количество альтернатив у каждого критерия. Методика предполагает выполнение ряда процедур по структурированию информации и проведению вычислительных операций.

Процедура 1. Исходная проблема структурируется в виде иерархии.

Процедура 2. Осуществляется экспертная оценка альтернатив по соответствующим критериям, используя метод парного сравнения или метод сравнения альтернатив относительно стандартов. На основе экспертных оценок строится матрица А следующего вида:

В матрице А экспертные оценки представляют векторы приоритетов альтернатив относительно критериев . При этом если альтернатива Ai не оценивается по критерию , то в матрице А соответствующее значение . Векторы в матрице имеют различное число значений и могут быть нормированными или нет в зависимости от используемого метода сравнения альтернатив.

Процедура 3. В результате обработки матрицы попарных сравнений критериев относительно фокуса определяется вектор приоритетов критериев относительно цели .

Процедура 4. Формируются следующие диагональные матрицы S и L:

Rj – число альтернатив, находящихся под критерием Ej.

- суммарное число альтернатив, находящихся под всеми критериями.

С помощью матрицы S нормируются векторы приоритетов альтернатив, образующих матрицу А, путем умножения последней на S справа. Использование критерия L позволяет эксперту или ЛПР изменять при необходимости вес альтернатив, связанных с соответствующими критериями пропорционально отношению . Этим обеспечивается повышение приоритета альтернатив, образующих большие группы, и снижение приоритета альтернатив в группах с их относительно небольшим числом. Необходимость приведенной вычислительной процедуры обусловлена тем, что у критериев с высоким приоритетом в иерархии может находиться большое число альтернатив, а у критериев с низким приоритетом – значительно меньшее число альтернатив. В этой ситуации желательно повышение приоритетов альтернатив в большой группе, поскольку, если альтернатив много, каждая из них получит меньший составной приоритет, чем каждая альтернатива, входящая в меньшую группу с низким приоритетом критерия.

Процедура 5. Определяется вектор приоритетов альтернатив относительно W относительно критериев. Данная процедура реализуется последовательным перемножением матриц слева направо следующих матриц и векторов:

- случай ненормированных оценок в матрице А.

- случай нормированных оценок в матрице А.

Матрица В предназначена для окончательного нормирования значений вектора приоритетов альтернатив.

xi – значения ненормированного вектора приоритетов альтернатив, полученное после последовательного перемножения матриц .

r – число альтернатив.

Существуют иерархии, у которых альтернативы сгруппированы в подмножества , , , а элементы каждого из таких подмножеств связаны, в свою очередь, с определенными группами критериев , , (рисунок 17).

K0

K1

K2

Kn

...............

K11 K12... K1m K21 K22... K2r Kn1 Kn2... Knp

A1 A2... Am A`1 A`2... A`s A``1 A``2... A``l

Рис. 17 Иерархия с несколькими ветвями

Дерево состоит из ряда самостоятельных иерархических ветвей.

Алгоритм синтеза для иерархии с несколькими ветвями.

Шаг 1. Вычисляются векторы приоритетов альтернатив относительно критериев Kij.

Шаг 2. Строятся матрицы Ai, у которых наименованиями строк являются альтернативы, а наименованиями столбцов критерии Kij. При этом если альтернатива не связана с критерием Kij, то в матрице Ai на пересечении соответствующих строки и столбца ставится ноль.

Шаг 3. Вычисляются векторы приоритетов альтернатив относительно критериев Ki по выражениям:

......................................

Матрицы [Si] – для нормирования матриц [Ai];

[Li] – матрица изменения веса альтернатив пропорционально соотношению R/N, где R – число альтернатив под критерием, а N – суммарное число альтернатив.

Xi – вектор приоритетов критериев Kij относительно критериев Ki;

Bi – диагональная матрица для получения нормированного вектора .

Шаг 4: Вычисляется вектор приоритетов критериев X0 относительно фокуса иерархии K0.

Шаг 5. Строится результирующая матрица A0, у которой наименованиями строк являются все рассматриваемые альтернативы, а наименованиями столбцов – критерии Ki. При этом результирующая матрица имеет следующий вид:

Шаг 6. Определяется результирующий нормированный вектор приоритетов всех рассматриваемых альтернатив относительно фокуса иерархии K0 на основании выражения:

.

Конец алгоритма.

§ 3.4. Общая характеристика подхода метода анализа иерархий

Достоинством метода является направленность на сравнение реальных альтернатив. Метод может применяться и в случаях, когда эксперты или ЛПР не могут дать абсолютные оценки альтернатив по критериям, а пользуются более слабыми сравнительными измерениями.

Недостатки метода неоднократно обсуждались в статьях различных авторов. Весьма существенной проблемой, на взгляд многих ученых, является необоснованный переход к числам при проведении измерений, оторванность метода объединения оценок от предпочтений ЛПР.

Тема 3. Многокритериальные задачи принятия решений

Многокритериальная оптимизация

На практике часто приходится решать многокритериальные оптимизационные задачи — задачи, в которых приходится учитывать набор из нескольких несоизмеримых, противоречивых целевых функций, которые следует рассматривать одновременно.

В качестве иллюстрации можно привести следующую, часто встречающуюся ситуацию. Необходимо принять решение о строительстве нового предприятия. Для этого из нескольких конкурсных проектов необходимо выбрать один. Критериями эффективности могут служить стоимость реализации проекта и величина прибыли , которую обеспечит построенное предприятие. Если ограничить рассмотрение данной задачи лишь одним критерием эффективности, практическая значимость решения такой задачи окажется незначительной. В самом деле, при использовании только первого критерия будет выбран самый дешевый проект, но его реализация может привести к недопустимо малой прибыли. С другой стороны, на строительство самого прибыльного проекта, выбранного на основе второго критерия эффективности, может просто не хватить имеющихся средств. Поэтому в данной задаче необходимо учитывать оба указанных критерия одновременно. Если же дополнительно стараться минимизировать нежелательные экологические последствия строительства и функционирования предприятия, то к двум указанным следует добавить еще один – третий критерий и т.д. Рассмотренная многокритериальная задача носит название задачи выбора наилучшего проектного решения.

II-1. 1. Формулировка многокритериальной задачи