Классификация методов принятия решений 2 страница

Обозначим значения шкалы, располагая их в ряд от одного крайнего значения к равенству и затем вновь повышая до второго крайнего значения (таблица 3). В левом столбце перечисли все альтернативы, которые нужно сравнивать по степени превосходства с другими альтернативами из правого столбца. Эксперты должны отметить суждения, которые выражают превосходство элемента из левого столбца над соответствующим элементом из правого столбца, расположенном в той же строке. Если такое превосходство в действительности имеет место, то одна из позиций левее равенства будет отмечена. В противном случае будет отмечено равенство или некоторая позиция справа.

Таблица 3. Сравнение альтернатив относительно критерия "образование"

	Абсолютное	Очень сильное	Сильное	Слабое	Равенство	Слабое	Сильное	Очень сильное	Абсолютное
А1	_	_	_	_	_	_	_	_	_	А2
А1	_	_	_	_	_	_	_	_	_	А3
А2	_	_	_	_	_	_	_	_	_	А3

Такая таблица составляется и заполняется для каждого критерия (четыре анкеты для сравнения альтернатив по каждому из критериев) и для сравнения критериев относительно цели (одна анкета в которой ЛПР решает какие критерии для него наиболее значимые).

После заполнения экспертами анкет, по ним составляются матрицы парных сравнений. Например анкета имеет вид, представленный в таблице 4:

Таблица 4. Сравнение альтернатив относительно критерия "образование", составленное первым экспертом по резюме кандидатов

	Абсолютное	Очень сильное	Сильное	Слабое	Равенство	Слабое	Сильное	Очень сильное	Абсолютное
А1	_	х	_	_	_	_	_	_	_	А2
А1	_	_	_	х	_	_	_	_	_	А3
А2	_	_	_	_	_	_	х	_	_	А3

Матрица парных сравнений для анкеты из таблицы 4 имеет вид:

Для агрегирования мнений экспертов принимается среднегеометрическое, вычисляемое по следующей формуле:

Логичность критерия становится очевидной, если два равноценных эксперта указывают при сравнении объектов соответственно оценки и , что при вычислении агрегированной оценки дает единицу и свидетельствует об эквивалентности сравниваемых объектов.

В достаточно ответственных задачах при оправданных задачах на экспертизу осреднение суждений экспертов проводится с учетом их квалификации. Для определения весовых коэффициентов экспертов используют иерархическую структуру критериев, представленную на рисунке 7.

Наилучший эксперт

Профессиональный уровень

Независимость суждений

Порядочность

Эксперт 1

Эксперт 3

Эксперт 2

Рис. 7 Иерархия для ранжирования экспертов

Расчет агрегированной оценки в случае привлечения экспертов, имеющих различную значимость, осуществляется по формуле:

Пример. Предположим, что в случае с выбором нового кандидата на работу, первый эксперт, которым мог быть начальник отдела управления кадрами, по результатам резюме заполнил анкету, которая приведена в таблице 4. Во время проведения собеседования с каждым из претендентов, второй эксперт, например один из директоров, заключил, что по уровню образования кандидатам соответствует анкета, заполненная следующим образом (таблица 5):

Таблица 5. Сравнение альтернатив относительно критерия "образование", составленное вторым экспертом по результатам собеседования с кандидатами

	Абсолютное	Очень сильное	Сильное	Слабое	Равенство	Слабое	Сильное	Очень сильное	Абсолютное
А1	_	х	_	_	_	_	_	_	_	А2
А1	_	_	х	_	_	_	_	_	_	А3
А2	_	_	_	_	_	х	_	_	_	А3

Матрица парных сравнений для анкеты в таблице 5, имеет вид:

Для объединения оценок суждений двух экспертов строится матрица с средним геометрическим оценок. В данной задаче такой подход не совсем правомерен. Однако, будем считать что суждения двух экспертов обладают одинаковой степенью значимости. Результирующая матрица имеет вид:

При построении матриц парных сравнений важным вопросом является согласованность, или однородность матрицы. Согласованность – это следование логике при высказывании суждений экспертом. Для более наглядной иллюстрации понятия «согласованности» приведем пример.

Пример. Предположим, что имеется три фрукта: яблоко, апельсин и ананас. Некто, предположим ребенок, говорит следующее: «Ананас в три раза вкуснее апельсина, а апельсин в два раза вкуснее яблока». Следующим высказыванием ребенка на вопрос о его любви к яблокам и ананасам, он говорит, что ананас в пять раз лучше яблока. В таких высказываниях ребенка несогласованности практически нет, несмотря на то, что исходя из его первого предложения ананас в шесть раз предпочтительнее яблока. Однако, нарушения логики могло быть гораздо более серьезным и даже привести к нетранзитивности. Так, второе высказывание могло звучать: «Мне яблоки нравятся больше чем ананасы».

В практических задачах количественная и транзитивная (порядковая) однородность нарушается, поскольку человеческие ощущения нельзя выразить точной формулой. Для улучшения однородности в числовых суждениях, какая бы величина ни была взята для сравнения -го элемента с -ым, приписывается значение обратной величины, т.е. .

Определение. Квадратную матрицу в которой все элементы , называют обратносимметрической.

При построении матриц парных сравнений не следует искусственно выстраивать матрицу исходя из условий согласованности. Такой подход может исказить предпочтения ЛПР. Однако во многих задачах, однородность матриц должна быть высокой. Для оценки однородности используют то свойство, что при нарушении однородности ранг матрицы отличен от единицы и она имеет несколько собственных значений. При небольших отклонениях суждения от однородности одно из собственных значений будет существенно большие остальных и приблизительно равно порядку матрицы. Это свойство вытекает из следующих двух теорем.

Теорема 1. В положительной обратносимметрической квадратной матрице .

Теорема 2. Положительная обратносимметрическая квадратная матрица А согласованна тогда и только тогда, когда .

Таким образом, для оценки однородности суждений эксперта можно использовать отклонение величины максимального собственного значения от порядка матрицы .

Согласованность суждения оценивается индексом однородности (индексом согласованности) или отношением однородности (отношением согласованности) в соответствии со следующими формулами:

- среднее значение индекса однородности случайным образом составленной матрицы парных сравнений, которое основано на экспериментальных данных. Значение есть табличная величина, входным параметром выступает размерность матрицы (таблица 6).

Таблица 6. Среднее значение индекса однородности в зависимости от порядка матрицы

			0,58	0,90	1,12	1,24	1,32	1,41	1,45	1,49	1,51

В качестве допустимого используется значение . Если для матрицы парных сравнений , то это свидетельствует о существенном нарушении логики суждений, допущенном экспертом при заполнении матрицы, поэтому эксперту предлагается пересмотреть данные, использованные для построения матрицы, чтобы улучшить однородность.

§ 3.1.3 Вычисление коэффициентов важности для элементов каждого уровня

Ранжирование элементов, анализируемых с помощью матрицы парных сравнений, осуществляется на основании главных собственных векторов, получаемых в результате обработки матриц.

Определение. Пусть задана квадратная матрица . Число называется собственным значением, а ненулевой вектор собственным вектором квадратной матрицы , если они связаны между собой соотношением .

Собственные значения квадратной матрицы могут быть вычислены как корни уравнения , а собственные векторы – как решение соответствующих однородных систем .

Определение. Собственный вектор отвечающий максимальному собственному значению называется главным собственным вектором.

Пример. Рассмотрим следующую матрицу парных сравнений:

Вычислим для данной матрицы главный собственный вектор.

При решении данного уравнения получено максимальное собственное значение . Для вычисления главного собственного вектора необходимо решить систему линейных уравнений:

Полученный главный собственный вектор ранжирует альтернативы и назначает им веса. Таким образом, вторая альтернатива наиболее предпочтительная, затем идет третья и первая. Заметим, что сумма координат полученного вектора равна единице. Таким образом можно говорить об относительной важности того или иного сравниваемого критерия или альтернативы.

Квадратная матрица имеет не более различных собственных значений. Вычислить главный собственный вектор положительной квадратной матрицы с точностью до некоторого постоянного сомножителя можно по формуле:

,

где .

Максимальное собственное значение вычисляется по формуле: .

Как видно из вышеприведенного примера, вычисление собственных векторов и собственных значений «в лоб» не является тривиальной задачей. При вычислении максимального собственного значения матриц порядка больше двух практически всегда требуется прибегать к приближенным методам. Такой подход существенно усложняет задачу, так как в случае одной иерархии число матриц парных сравнений может быть очень велико. В случае, когда человек не владеет численными методами метод иерархической иерархии вообще может быть им отклонен.

Для вычисления собственных векторов и собственных значений матриц целесообразно использовать вычислительные средства и современные программные продукты. Однако, при отсутствии вычислительных мощностей, приближенное значение главного собственного вектора можно получить суммированием элементов каждой строки и последующим делением каждой суммы на сумму элементов всей матрицы.

Пример. Рассмотрим матрицу парных сравнений и вычислим приближенное значение главного собственного вектора:

Просуммируем элементы каждой строки и найдем сумму всех элементов матрицы:

Нормализуя вектор делением каждой координаты на величину , получаем приближенное значение главного собственного вектора:

Приближенное значение максимального собственного значения можно найти по формуле , рассмотренной выше:

При таком вычислении главного собственного вектора и максимального собственного значения может оказаться, что согласованная в действительности матрица является несогласованной по вычислениям и наоборот.

Пример. Вычислим отношение согласованности рассматриваемой выше матрицы, взяв в качестве максимального собственного значения его точное и приближенное число.

При большей погрешности метода вычисления главного собственного вектора, отношение согласованности матрицы парных сравнений могло оказаться больше .

Желательно использовать процедуры точного нахождения собственных значений и векторов матриц. Такое пожелание превращается в требование в особо ответственных задачах.

Вычисление собственных векторов и значений в пакете Mathematica.

Для вычисления собственных векторов и значений, первым шагом является определение матрицы. Для определение введем в пустом документе название матрицы и поставим знак равенства. Зададим трехмерную матрицу с единицами на главной диагонали. Для этого выберем в меню опцию Input→Create Table/Matrix/Palette... или используем комбинацию клавиш <Shift>+<Ctrl>+<C> (рисунки 8 и 9). В открывшемся окне определим размерность матрицы и отметим необходимость заполнить главную диагональ единицами. Поля, которые необходимо заполнять, выделены на рисунке 9.

Рис. 8. Меню вставки пакета Mathematica

После вставки матрицы и заполнения всех ее элементов необходимо нажать клавиши <Shift>+<Enter> - пакет произведет назначение матрице соответствующих числовых характеристик.

Вычисление собственных значений выполняется функцией Eigenvalues[M], а собственных векторов Eigenvectors[M]. При вычислении желательно сопроводить функции последующим символом N через две косые черты (//N), в противном случае Mathematica проведет вычисления символьно. После ввода строки Eigenvalues[M]//N и нажатия клавиш <Shift>+<Enter>, Mathematica выдаст результат, представленный на рисунке 10.

Рис. 9. Определение размерности матрицы в пакете Mathematica

На рисунке 10 приведены вычисления и векторов, и значений. При выполнении вычислений получено одно действительное собственное значение. Это значение нас и интересует, оно несколько превышает размерность матрицы, тройку, что говорит о неполной согласованности матрицы. На приведенном рисунке интересующий нас вектор обведен. Вектор не является нормированным. Для его нормализации необходимо найти сумму элементов вектора, а затем разделить все координаты на получившуюся сумму.

При использовании пакета Mathematica необходимо помнить, что строчные и заглавные буквы различаются. Так, например, название функций должны начинаться с заглавной буквы, в противном случае они не распознаются. Аргументы функций обязаны стоять в квадратных скобках.

Рис. 10. Вычисление собственных значений и векторов матрицы в пакете Mathematica

Вычисление необходимых величин, даже при помощи пакета, является задачей, требующей времени. В Mathematica можно создавать собственные процедуры и функции, писать мультимедийные учебники. Процедуру поиска собственных значений и векторов можно закодировать, что в дальнейшем сведет операцию вычисления лишь к вводу новых значений матрицы парных сравнений.

Вычисление собственных векторов и значений в Mathcad.

Вычислим собственные вектора и значения с использованием Mathcad. Определим и введем в рабочий документ матрицу парных сравнений. В Mathcad операция присваивание выполняется посредством оператора:=. Для того, чтобы определить матрицу, введем с клавиатуры ее имя и знак присваивания. Для присваивания необходимо нажать на клавиатуре комбинацию клавиш <Shift>+<:>, в результате чего появится знак присваивания (рисунок 11). Для ввода матрицы воспользуемся одной из опций. Большинство вычислений с матрицами, и другие вычисления в Mathcad, можно выполнить тремя способами – с помощью панелей инструментов, выбором операции в меню или обращением к соответствующей функции.

Воспользуемся первым вариантом. После того как имя матрицы и оператор присваивания были введены, откроем панель операций с матрицами, щелкнув по кнопке (рисунок 11). После этого на появившейся панели щелкнем по кнопке и зададим размерность матрицы (рисунок 12).

Рис. 11. Панель операций с матрицами в пакете Mathcad

Рис. 12. Окно определения размеров матрицы в Mathcad

После ввода матрицы присвоим некоторой переменной значение функции eigenvals(А). Данная функция вычисляет собственные значения квадратной матрицы . Присвоение должно быть выполнено правее или ниже определения матрицы , в противном случае матрица для функции будет неизвестна. После выполнения такого присваивания, введем с клавиатуры С=. Фрагмент рабочего стола, после выполнения всех описанных выше процедур, приведен ниже.

Для вычисления главного собственного вектора, воспользуемся функцией eigenvec(A, z) – вычисление собственного вектора матрицы , отвечающего собственному значению . Чтобы обратиться к функции, введем с клавиатуры ее имя, затем перечислим в скобках ее аргументы: название матрицы и название вектора собственных значений с индексом, задающим номер интересующего нас собственного значения. Индексы координат векторов в Mathcad начинаются с нулевого (данная настройка может быть изменена). После ввода функции необходимо поставить знак равенства:

Вектор не нормирован. Нормируем его. Для удобства расчетов присвоим главный собственный вектор некоторой переменной . Вычисление суммы координат вектора произведем при помощи кнопки на панели операций с матрицами (рисунок 11, кнопка вторая слева внизу). При ее нажатии появляется знак суммы. Под знаком суммы поставим вектор , координаты которого мы собираемся складывать. После нахождения суммы произведем деление вектора на сумму .

Фрагмент рабочего документа Mathcad, содержащий перечисленные выше действия, приведен ниже.

Для того чтобы вычислить собственные значения и главный собственный вектор новой матрицы, достаточно изменить числа в исходной матрице А. При этом необходимо следить, чтобы индекс интересующего нас собственного значения был соответствующим. Рабочий стол удобно дополнить формулами индекса согласованности и отношения согласованности матрицы парных сравнений:

Ввод нижнего индекса можно произвести при помощи кнопки панели операций с матрицами (рисунок 11, кнопка вторая справа сверху).

Вычисление собственных векторов и значений по формулам.

Для вычисления главного собственного вектора и наибольшего собственного значения обратносимметрической квадратной матрицы второго, третьего и четвертого порядка существуют точные формулы. Использование формул весьма сомнительно в силу большого числа вычислений, за исключением матрицы второго порядка:

Матрица 2 x 2

Для этого случая , .

Матрица 3 х 3

;

.

.

Матрица 4 х 4.

.

.

Вычисление собственных векторов и значений в MS Excel.

Довольно просто, используя определение собственного значения и формулу , а также теорему о величине максимального собственного значения обратносимметрической квадратной матрицы, средствами MS Excel можно получать наибольшее собственное значение и нормированный главный собственный вектор. Для этого можно создать макрос или же воспользоваться возможностями инструмента Поиск решения. Реализовать такой подход студентам предлагается самостоятельно как индивидуальное задание, групповое или в виде дискуссии на семинаре.