Афффинные преобразования и классификация поверхностей второго порядка

Задача 119. Доказать, что линейное преобразование плоскости тогда и только тогда будет аффинным, когда образ каждого ненулевого вектора будет отличен от нуля.

Задача 120 (с решением). Найти инвариантные прямые линейного

преобразования, заданного формулами

Образом прямой при таком преобразовании является прямая

или . По условию, она должна совпасть с исходной прямой .Две прямые совпадут при условии пропорциональности входящих в их уравнения коэффициентов, т. е.

при условии , , если и условии , если a= 0. Таким образом имеем 2 решения: или для первого случая и для второго.

Задача 121. Записать формулы, задающие произведение и данных аффинных преобразований (система координат общая декартова)

1)

2)

.

Задача 122. Записать формулы, задающие преобразование, обратное к данному (система координат общая декартова), если такое преобразование существует.

1)

2)

3)

4)

Задача 123. Доказать, что:

Если А и В — две различные неподвижные точки аффинного преобразования, то и все точки прямой АВ неподвижны;

2) если аффинное преобразование f имеет единственную неподвижную точку, то все инвариантные прямые (если они существуют) проходят через эту точку;

3) точка пересечения двух инвариантных прямых аффинного преобразования неподвижна.

Задача 124. Записать формулы, задающие произведение и данных аффинных преобразований (система координат общая декартова)

1)

2)

.