Прямые в пространстве

Основные типы уравнений прямой линии

Векторно-параметрическое уравнение прямой линии:

. (12)

Каноническое уравнение прямой:

(13)

Отметим, что одновременно l, m, n не могут обратиться в 0.

Уравнения (13) можно рассматривать как сокращенную форму записи, например, такой системы:

Связкой прямых будем называть совокупность прямых пространства, проходящих через фиксированную точку, либо попарно параллельных.

Прямую L назовем общим перпендикуляром к прямым L₁ и L₂, если она перпендикулярна к каждой прямой и с обеими пересекается.

Основные утверждения

Пусть – радиус-вектор фиксированной точки прямой l, a – направ­ляющий вектор прямой L. Тогда уравнение

,

где t - параметр, принимающий действительные значения, будет уравнением прямой L.

Пусть прямая L в пространстве проходит через точку параллельно вектору . Тогда ее координатно-параметрические и канонические уравнения, соответственно, имеют вид

x=x₀+lt, y=y₀+mt, z=z₀+nt,

Если – направляющий вектор прямой L в пространстве и – радиус-вектор фиксированной точки прямой L, то уравнение

является уравнением прямой L.

Если прямая L в пространстве является пересечением двух плоскостей, заданных общими уравнениями, т.е. ее точки удовлетворяют системе уравнений

то в качестве направляющего вектора прямой можно выбрать следующий вектор:

Утверждение 5. Если прямая L на плоскости задана нормальным уравнением и – произвольная точка плоскости, то расстояние от точки М до прямой L определяется формулой

.

Пусть в пространстве точка М имеет координаты , прямая L проходит через точку параллельно вектору , система координат прямо­угольная. Тогда расстояние от точки М до прямой L будет следующим:

.

Пусть в пространстве заданы две непараллельные прямые L₁ и L₂,, име­ющие направляющие векторы и , проходящие через точки и соответственно. Система координат прямоугольная. Тогда уравнение общего перпендикуляра задается системой уравнений:

, ,

где

.

Если L₁ и L₂ – скрещивающиеся прямые, которые проходят через точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂) параллельно векторам и соответственно, то расстояние между прямыми L₁ и L₂ можно определить по формуле , где ,

.

Если П – алгебраическая поверхность (линия L) порядка k и l – прямая, то число точек пересечения поверхности П (линии L) и прямой l не превосходит k.

Задача 82. Найти необходимые и достаточные условия, при которых прямые и

1) пересекаются (т.е. имеют единственную общую точку);

2) скрещиваются;

3) параллельны, но не совпадают;

4) совпадают.

Задача 83. Даны две прямые. Установить, пересекаются они, скрещиваются, параллельны или совпадают. Если прямые пересекаются или параллельны, составить уравнение плоскости, в которой они лежат. Если прямые пересекаются, найти также координаты точки их пересечения.

1) и

2) и

3) и

4) и

5) и

Задача 84. [2,6.28] Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной прямым и

.

Задача 85 (с решением). Написать каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (1,1,1) и параллельной плоскостям x+ 3 y –4 z+ 1 = 0, x= 0, а так же записать векторно-параметрическое и параметрическое уравнение этой прямой.

Решение. Для того чтобы написать каноническое уравнение данной прямой, надо знать точку, через которую она проходит, и направляющий вектор. Направляющий вектор находим по формуле

.

Каноническим уравнением данной прямой будет уравнение

,

векторно-параметрическим , где =(1,1,1), = (0, –4, –3), параметрическим x = 1, y = 1–4 t, z = 1-3 t.

Задача 86(с решением). Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из точки (3, 2, 1) на прямую .

Решение. Искомый перпендикуляр лежит в плоскости π, ортогональной заданной прямой l, направляющий вектор которой равен . Поэтому уравнение плоскости π имеет вид

2 x+ 4 y+z+D= 0,

где константу D определяем из условия, что π:

есть искомое уравнение плоскости. Основание перпендикуляра имеет координаты (), удовлетворяющие соотношениям

,

2 x + 4 y +z -1 5=0,

откуда получаем ().

Следовательно, искомая прямая описывается соотношениями

или

.

Задача 87 (с решением). Найти проекцию прямой

2 x+ 3 y+ 4 z+ 5=0,

x- 6 y+ 3 z-7= 0

на плоскость 2 x+ 2 y+z –15=0.

Решение. Искомая проекция может быть задана как прямая пересечения плоскости π 2x+2y+z+5=0 с ортогональной к ней плоскостью π, проходящей через заданную прямую l. Последнее означает, что плоскость π является элементом пучка, образованного плоскостями π 2 x+ 3 y+ 4 z+ 5=0 и π₂ x- 6 y+ 3 z- 7=0. Следовате л ьно, уравнение π имеет вид

Условие ортогональности плоскостей π и π дает

откуда

и уравнение плоскости π есть 4 x- 9 y+ 10 z-9=0, а уравнение ортогональ-ной проекции

2 x+ 2 y+z- 15=0,

4 x –9 y+ 10 z –9=0.

Задача 88. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и прямую, заданную уравнениями:

1)

2)

Задача 89. Составить уравнение прямой, проходящей через точку и пересекающей две данные прямые:

1) и

2) и

Задача 90. Найти угол между прямыми:

1) и

2) и

Задача 91. Плоскости являются соответственно плоскостями новой системы координат, а точка имеет в новой системе координаты (1,1,1).

1) Найти координаты точки в исходной системе координат, если известны ее координаты в новой системе координат.

2) Составить в новой координатной системе канонические уравнения прямой, которая в исходной системе задается уравнениями .