Сравнение выборочной средней с гипотетической средней нормальной совокупности

Пусть случайная величина распределена нормально. Предположим, что генеральная средняя неизвестна, но имеются основания считать, что она равна гипотетическому (предполагаемому) значению . Требуется по выборочной средней при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу : . Так как выборочная средняя , то нулевую гипотезу можно записать так: .

Возможны два случая:

I. Дисперсия известна.

В этом случае в качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

,

и вычисляют .

1) При конкурирующей гипотезе критическую точку находят по таблице функции Лапласа из условия . Критическая область в этом случае является двусторонней.

Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

2) При конкурирующей гипотезе критическую точку правосторонней критической области находят по таблице функции Лапласа из условия .

Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

3) При конкурирующей гипотезе критическую точку левосторонней критической области находят по таблице функции Лапласа из условия .

Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

II. Дисперсия неизвестна.

В этом случае в качестве критерия проверки нулевой гипотезы принимают случайную величину

,

где исправленная выборочная дисперсия.

Для того, чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу , нужно вычислить наблюдаемое значение критерия .

1) При конкурирующей гипотезе критическую точку находят по таблице критических точек распределения Стьюдента при степенях свободы и уровню значисости, указанному в верхней строке таблицы.

Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

2)При конкурирующей гипотезе критическую точку правосторонней критической области находят по той же таблице, только уровень значимости теперь будет указан в нижней строке.

Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.

3) При конкурирующей гипотезе критическую точку левосторонней критической области находят также, как и в пункте 2).

Если , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу. В противном случае нулевую гипотезу отвергают.