Общая схема проверки статистических гипотез

Лекция14

Рассматриваемые вопросы:

1) Общая схема проверки статистических гипотез.

2) Сравнение выборочной средней с гипотетической средней нормальной совокупности.

3) Сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.

4) Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей.

5) Критерий согласия Пирсона хи-квадрат.

Общая схема проверки статистических гипотез.

Определение 1. Статистической гипотезой называется любое высказывание о конкретных значениях параметров распределения некоторой случайной величины или о виде этого распределения.

В первом случае гипотеза называется параметрической, во втором- непараметрической.

При проверке статистической гипотезы прежде всего необходимо сформулировать основную или нулевую гипотезу . Различают простые и сложные гипотезы.

Определение 2. Гипотеза называется простой, если она состоит в равенстве одного или нескольких параметров заданным числам.

Если множество допустимых для справедливости гипотезы значений параметров состоит более чем из одного элемента, то ее называют сложной.

Например,

простые гипотезы,

сложная гипотеза.

Одновременно с простой гипотезой рассматривается некоторая гипотеза, называемая альтернативной или конкурирующей. Ее обычно обозначают . Различают односторонние и двусторонние конкурирующие гипотезы. Например,

односторонние гипотезы,

двусторонняя гипотеза.

Выбор вида альтернативной гипотезы определяется смыслом задачи.

Для проверки нулевой гипотезы используют специальным образом подобранную случайную величину (статистический критерий, или еще говорят, статистику). В зависимости от вида распределения критерий обозначают через (если он распределен нормально), (если он распределен по закону Стьюдента), (если он распределен по закону Фишера-Снедекора) и т.д. В целях общности будем обозначать статистический критерий через . Наблюдаемым значением критерия называют значение критерия, вычисленное по выборке.

После выбора критерия множество всех его возможных значений разбивают на два подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается (критическая область), а другое содержит те значения критерия, при которых нулевая гипотеза принимается (область принятия гипотезы). Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформулировать так: если принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают в пользу конкурирующей гипотезы ; если принадлежит области принятия гипотезы, то нулевую гипотезу принимают. При этом возможны четыре случая:

Гипотеза	Принимается	Отвергается
Верна	Правильное решение	Ошибка 1-го рода
Не верна	Ошибка 2-го рода	Правильное решение

Вероятность допустить ошибку 1-го рода, т.е. отвергнуть гипотезу , когда она верна, называется уровнем значимости критерия.

Вероятность допусить ошибку 2-го рода, т.е. принять гипотезу , когда она не верна, обозначается через . Вероятность не допустить ошибку 2-го рода называется мощностью критерия.

Вероятности ошибок 1-го и 2-го рода определяются выбором критической области.

Различают одностороннюю (правостороннюю и левостороннюю) и двустороннюю критические области. Точки , которые разделяют критическую область и область прнятия решения, называют критическими точками.

Правосторонней называют критическю область, определяемую неравенством , где .

Левосторонней называют критическю область, определяемую неравенством , где .

Двусторонней называют критическую область, определяемую двумя неравенствами и , где . Для симметричного относительно нуля критерия полагают , .

Для каждого из используемых критериев имеются таблицы, по которым по уровню значимости критерия разыскиваются критические точки.

Выбор критических точек поясним на примере правосторонней критической области. Пусть уровень значимости критерия выбран и по нему определена критическая точка . Допустим, что . Тогда мы нулевую гипотезу отклоняем. Отклоненная гипотеза может быть истинной, а может быть ложной. Поскольку мало, ошибка 1-го рода (отклонить верную гипотезу) практически невозможна. Поэтому отклоненная гипотеза ложна.

Наиболее просто общая схема проверки статистических гипотез может быть проиллюстрирована на примере простых гипотез, что, фактически, делается с помощью доверительных интервалов для соотсетствующих параметров.