Примеры выполнения

Передаточная функция разомкнутой цепи

. (6.5)

Характеристическое уравнение

(6.6)

имеет два нулевых корня

и один отрицательный действительный

,

следовательно, разомкнутая система является неустойчивой.

Функция Михайлова для разомкнутой системы соответственно равна:

(6.7)

Вид годографа функции Михайлова показан на рис.6.3.

Анализ годографа показывает, что характеристическое уравнение (6.6) не имеет правых корней, так как годограф уходит в бесконечность в третьей четверти, но поскольку он проходит через начало координат (начинается в начале координат), имеются нулевые корни.

Передаточная функция замкнутой системы с отрицательной единичной обратной связью для

равна:

, (6.8)

Рис.6.3. Годограф функции Михайлова

а функция Михайлова для замкнутой системы имеет вид:

. (6.9)

При Ko:=1, Kn:=3, и различных Ki, соответствующих устойчивому (), граничному () и неустойчивому () состояниям годограф функции Михайлова показан на рис.6.4.

Рис.6.4. Годограф функции Михайлова замкнутой системы для различных

Если действительная и мнимая части функции (6.9) одновременно обращаются в 0 и замкнутая система будет находиться на границе устойчивости.

При действительная часть функции Михайлова изменит знак быстрее нежели мнимая и годограф Михайлова пройдет слева от начала координат, что соответствует по критерию Михайлова устойчивой системе.

При годограф Михайлова пройдет справа от начала координат и система будет неустойчивой.

Для анализа устойчивости замкнутой системы по критерию Найквиста следует построить частотную характеристику разомкнутой системы и, поскольку, она имеет разрыв на нулевой частоте (разомкнутая цепь содержит интегрирующие звенья), дополнить годограф полуокружностью, начинающейся на положительной действительной полуоси и проходящей по часовой стрелке до пересечения с годографом.

Частотная характеристика разомкнутой системы описывается выражением

. (6.10)

Выделим действительную и мнимую части:

(6.11)

. (6.12)

Графики частотной характеристики разомкнутой системы для различных Ki показаны на рис. 6.5.

Поскольку характеристическое уравнение разомкнутой системы не содержит правых корней и, в соответствии с критерием Найквиста, годограф функции W(jw) при совместно с дополняющей окружностью, как не охватывающий точку с координатами (-1, j0), соответствует устойчивой замкнутой системе.

Рис.6.5. АФЧХ разомкнутой системы при различных Ki

Годограф функции W(jw) при соответствует системе, находящейся на границе устойчивости, годограф функции W(jw) при - неустойчивой системе.

Условие попадания системы на границу устойчивости тождественно условию прохождения годографа через точку (-1, j0) или существованию решения системы уравнений:

ReW(w)=-1

ImW(w)=0

Для частотной характеристики (6.5) эта система после преобразования дает решение вида . Это означает, что при , не зависимо от частоты, мнимая часть превращается в 0, а действительная проходит по отрицательной полуоси абсцисс и график частотной характеристики попадает в точку (-1, j0).

Логарифмические частотные характеристики определяются выражениями:

.

Графики ЛАХ и ЛФЧХ, соответствующие устойчивому, граничному и неустойчивому состояниям замкнутой системы приведены на рис.6.6, 6.7.

Рис.6.6. Логарифмические амплитудные характеристики

Рис.6.7.Логарифмические фазовые характеристики

Как следует из графиков, для Ki=2 значение фазы на частоте среза ЛАХ больше -p, для Ki=15=Kn/T₁ – фаза равна -p, а для Ki=25 – фаза меньше -p. Соответственно, в первом случае замкнутая система будет устойчивой, во втором – находиться на границе устойчивости, в третьем – не устойчивой.

Контрольные вопросы

1. Как формулируется общее определение устойчивости системы (движения) по Ляпунову?

2. Как оценить устойчивость по коэффициентам и корням характеристического уравнения системы?

3. Как определить устойчивость системы с помощью алгебраических критериев?

4. Что такое годограф Михайлова и как определяется устойчивость по критерию Михайлова?

5. Как определить устойчивость замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой по критерию Найквиста?

6. Как определить устойчивость замкнутой системы по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы?

7. Как определить запас устойчивости по амплитуде и фазе для замкнутой системы по АФЧХ и ЛЧХ разомкнутой системы?

Содержание отчета

Отчет должен содержать: