Моменты инерции тела

Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам:

;

.

Моменты инерции тела относительно осей координат:

;

.

Если тело однородно, то в приведенных выше формулах следует положить .

Пример 1.9. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

.

Решение. Тело сверху ограничено эллиптическим параболоидом , снизу плоскостью . Тогда в декартовой системе координат: , ; , ; , . Используя формулу вычисления объема тела в декартовой системе координат, получаем:

.

Для более простого вычисления перейдем к цилиндрическим координатам. Введем замену:

, , .

При этом границы интегрирования будут следующими: , ; , , т.к. область интегрирования в плоскости при задается уравнением ; ,

.

Тогда, используя формулу вычисления объема тела в цилиндрических координатах, получаем:

.

,

2. КРИВОЛИНЕЙНЫН ИНТЕГРАЛЫ

Обобщением определенного интеграла на случай, когда область интегрирования есть некоторая кривая, является так называемый криволинейный интеграл.