В декартовых координатах

В декартовых координатах вычисление тройного интеграла водится к последовательному вычислению трех определенных интегралов.

прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках.

Для правильной области справедливы следующие неравенства:

, , .

Тогда тройной интеграл в декартовых координатах вычисляется по следующей формуле:

. (1.8)

Таким образом, при вычислении тройного интеграла в случае простейшей правильной области вначале интегрируют функцию по одной из переменных (например, ) при условии, что оставшиеся две переменные принимают любые постоянные значения в области интегрирования, затем результат интегрируют по второй переменной (например, ) при любом постоянном значении третьей переменной в и, наконец, выполняют интегрирование по третьей переменной (например, ) в максимальном диапазоне ее изменения в . Надо отметить, что порядок интегрирования в формуле (1.8), при определенных условиях, может быть другим.

Если область более сложная, чем рассматриваемая, то ее следует разбить на конечное число таких областей (правильных), к которым можно применить формулу (1.8).

Пример 1.6. Вычислить тройной интеграл

,

где область ограничена поверхностями: .

Решение. По заданным поверхностям строим область интегрирования: - плоскости, - эллиптический параболоид.

Тогда

.

,