Площадь плоской фигуры

Согласно свойству 6 двойного интеграла, если , то цилиндрическое тело «превращается» в прямой цилиндр с высотой, равной 1. Объем такого цилиндра численно равен площади основания , т.е. площади области интегрирования . Тогда для вычисления площади плоской фигуры получаем формулы:

1. для вычисления в декартовой системе координат: ;

2. для вычисления в полярной системе координат: .

Пример 1.3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , , и .

Решение. Построим в декартовой системе координат фигуру .

, а прямая - .

Согласно формуле (1.6) имеем

.

,

Пример 1.4. С помощью двойного интеграла найти объем тела, ограниченного данными поверхностями: .

Решение. Данное тело сверху ограничено поверхностью - параболическим цилиндром, снизу плоскостью , с боков плоскостями и . Чтобы найти объем тела, изобразим область в плоскости .