Частные случаи преобразования ДПСК

А). Замена базиса.

R = { O, (i, j)}, R = {O, (i, j) }

O = O (0.0) Þ (x = 0 ^ y = 0)

(8^*)

Б). Поворот осей на угол L

R = { O, (i, j)} и R = {O, (i, j) }, R ^ R –один. ориентир, т.е. E = +1

(8^**)

B). Перенос начала.

R = { O, (i, j)}, R = {O, (i, j) }

O (x, y) (8^*** )

i = i (1, 0)

j = j (0, 1)

Лекция 7

Полярная система координат. Переход от полярной системы к декартовой и обратно.

DF: Полярным репером называется фигура, состоящая из фиксированной точки О и данного вектора е

P = { O, (e) }

полюс орт

Покажем, что полярный репер определяет на плоскости систему координат

Луч (OP) ­ е – полярная ось

М – произвольная точка плоскости, тогда ее положение можно определить 2 числами: r = | OM |, j = POM

Числа r и j - полярные координаты точки М

r – полярный радиус -r = | OM |

j - полярный аргумент j = POM

Чтобы соответствие между полярными координатами и точками плоскости были одинаковы, на полярные координаты накладываются ограничения:

r ³ 0, 0 j < 2 p Ú -p p p; M (r, j), M ¹ 0

Если М = 0, то М (0), а полярный аргумент не определен.

Замечание: помимо рассмотренной полярной системы координат (обыкновенной) иногда рассматриваются обобщения полярные системы координат. Полярный репер определяется точно также, а на полярный радиус и полярный аргумент не накладывается никаким ограничениям.

В полярной системе координат решаются все основные задачи на метод координат:

1. задача нахождения координат точки в данной системе.

2. задача построения точки по ее координатам.

3. задача нахождения координат вектора по полярным координатам его концов.

4. задача деления отрезка в данном отношении.

5. задача нахождения расстояния между 2 точками.

6. задача вычисления площади треугольника.

Чтобы не решать заново все эти задачи, найдем формулу перехода от полярной СК к декартовой.

Переход от полярной системы к декартовой и обратно.

P = { O, (e) }; M (r, j)

R = { O, (i = e, j) }, R – правый репер, М (x, y)

Построенная таким образом ДПСК называется согласованной с полярной или присоединенной к полярной СК

М = О Ç ММ ^ О

x = | OM |;y = | M M | (1)

(2)

(1), (2) Þ (3) – формула перехода полярной СК присоединенной к ДПСК.

Решая систему (3) относительно r и j получим формулы обратного перехода

x + y = r (cos j + sin j)

r =

r = , cos j = , sin j = ; tg j = (4)

В качестве примера использования формул перехода от полярной системы, присоединенной к ДПСК решим задачу на вычисление расстояния между точками.

Задача № 5

P = (O, (e) } R = { O, (i = e, j) } – присоед. ДПСК

M (r, j) M (x, y); M (x, y)

M (r, j) d =

d = | M, M | Используя формулы (3)

d =

Найти d -? Раскрывая скобки и приводя подобные:

D =

Лекция № 8

Геометрическое истолкование уравнений и неравенств между координатами. Алгебраическая линия и ее порядок.

Пусть F (x, y) – математическое выражение, составленное из букв x, y. F (x, y) – “терм”

R = { O, (e, e) }

Тогда введя на плоскости афинную СК, мы можем при помощи этого выражения определить следующие 6 фигур:

Ф = { M (x, y) | F (x, y) = 0 } Очевидно, что между ними существуют

Ф = { M (x, y) | F (x, y) > 0 } следующие зависимости:

Ф = { M (x, y) | F (x, y) < 0 } Ф = Ф Ф

Ф = { M (x, y) | F (x, y) ³ 0 } Ф = Ф Ф

Ф = { M (x, y) | F (x, y) 0 } Ф = Ф Ф

Ф = { M (x, y) | F (x, y) ¹ 0 }

Пример: F (x, y) = y; R = {O, (e, e) }

Ф = { M {x, y) | y = 0 } = 0

Ф = { M y (x, y) | y > 0 } = L (верхняя полуплоскость)

Ф = { M {x, y) | y < 0 } = L (нижняя полуплоскость)

Ф = { M {x, y) | y ³ 0 } = O L

Ф = { M {x, y) | y 0 } = O L

Ф = { M {x, y) | y ¹ 0 } = L L

При изучении геометрии аналитическими методами обычно возникают 3 взаимообратные задачи.

Задача 1: В данной афинной СК фигура задана своими уравнениями или неравенствами. Требуется изучить эту фигуру и изобразить ее геометрические свойства.

Задача 2: Задана некая геометрическая фигура на плоскости, как множество точек, каждая из которых обладает определенными характерными свойствами. Требуется относительно АСК написать ее уравнение или неравенство.

Примером задачи 1-го типа является пример, рассмотренный выше. Приведем пример задачи второго типа.