Скалярное произведение двух векторов. Определение и свойства

DF: скалярным произведением 2-х векторов ( ) называется число ( ( cos(, )

Если один из сомножителей 0, то по определению скалярного произведения равно нулю

( ) = ç çç çcos (, Ù )

Учитывая, что ê êcos (,Ù ) =

ô ôcos (,Ù ) = ô ôcos(-(, )) = ô ôcos (, ) =

( ) = ô ô = ô ô

Свойства скалярного произведения 2-х векторов:

Геометрические свойства

1⁰. Модуль вектора равен корню квадратному из скалярного квадрата вектора

ô ô= , где = ( )

= ( ) = ô ôô ôcos (,Ù ) = ô ôô ôcos = ô ô²

ô ô=

2⁰. cos (,Ù ) =

Следует из определения скалярного произведения 2-х векторов.

3⁰. Пусть ¹ , ¹ 0, тогда ^ Û ( ) = 0

^ Û ( ) = 0

Доказательство:

1. необходимость:

^ => (,Ù ) = 90⁰ => cos (,Ù ) = 0

=> ( ) = 0

(,Ù ) = ô ôô ô cos (,Ù )

2. достаточность:

( ) = 0

¹ =>ô ô¹ 0 => cos (,Ù )=0=> (,Ù )=80⁰ => ^

¹ =>ô ô¹ 0

( ) = ô ôô ô cos (,Ù )

Алгебраические свойства:

4⁰. Скалярное произведение коммутативно

(a b) = (b a)

Доказательство:

(a b) = | a | | b | cos (a ^, b) = | b | | a | cos (-(b,^ a)) = | b | | a | cos (b, ^ a) = (b a)

5⁰. Числовой множитель можно вынести за знак скалярного произведения

((l a) b) = l (a b)

Доказательство:

((l a) b) = b np_b (l a) = | b | l np_b a = l (a b)

6⁰. Cкалярное произведение дистрибутивно относительно суммы векторов

((a + b) c) = (a c) + (b c)

Доказательство:

((a + b) c) = | c |np_c (a + b) = | c |(np_c a + np_c b) = | c |np_c a + | c |np_c b = (a c) + (bc)