Свойства сложения векторов

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1⁰ Свойство ассоциативности

(a+b)+c=a+(b+c)

2⁰ а+0=a (нулевой вектор является нейтральным элементом сложения)

3⁰ а+(-а)=0

4⁰ Свойство коммутативности

a+b=b+a

Df: Множества с одной операцией, обладающей первыми тремя свойствами, называется группой; если группа выполняет 4⁰ свойство, то она называется коммутативной (абелевой)

Поэтому, если мы обозначим множество векторов через V, то (V,+)-абелева группа.

Докажем свойства.

1⁰. Доказательство:

Построим OA=a, AB=b, BC=c

Для 3-х точек А, В, С мы можем записать: ОВ=ОА+АВ=a+b

O, B, C ÞOC=OB+BC=(a+b)+с (1) A, B, C ÞAC=AB+BC=b+c O, A, С ÞOC=OA+AC=a+(b+c) (2) Из (1) И (2) следует (a+b)+c=a+(b+c)

3⁰ Построим OA=a? Тогда АО=-а; О, А, О ÞОА+АО=ООÞа+(-а)=0

2⁰ Построим ОА=а

О, А, А ÞОА+АА=ОА; а+0=а

4⁰ При доказательстве этого свойства рассмотрим два случая:

1. Векторы а и b не коллинеарны. Построим ОА=а и ОВ=b и сложим их по правилу параллелограмма

ОС=a+b (1)

O, B, С ÞOC=OB+BC

Из того, что OBCA-параллелограмм следует

Из (1) и (2) Þ a+b=b+a

2. Вектора а и b коллинеарны, т.е. a | | b

Построим OA=a и OB=b

OB=a+b (3)

a | | b ÞBÎ(OA)

Возьмем DÏ(OA)

O, D, BÞOB=OD+DB=DB+OD (4)

D, A, BÞDB=DA+AB=AB+DA (5)

O, A, DÞOD=OA+AD=AD+OA (6)

Подставляя (5) и (6) в (4) получаем:

OB=(AB+DA)+(AD+OA)=AB+(DA+AD)+OA=AB+DD+OA=b+0+a=b+a (7)

Из (3) и (7) Þ a+b=b+a