Ре­ше­ние. Пусть тре­тья свеча сго­ра­ет за х ч

Под­ход 1.

Пусть тре­тья свеча сго­ра­ет за х ч. Тогда ско­рость сго­ра­ния тре­тьей свечи (1/ч), пер­вой свечи — (1/ч), вто­рой свечи — (1/ч).

Пусть до того, пока тре­тья свеча по­рав­ня­лась по длине со вто­рой све­чой, про­шло t ч. К этому мо­мен­ту сго­ре­ла ед. длины тре­тьей свечи, ед. длины вто­рой свечи. По усло­вию за­да­чи они равны. Решим урав­не­ние от­но­си­тель­но t.

Но за 2 часа до этого мо­мен­та по­рав­ня­лись по длине тре­тья и пер­вая свечи. К этому мо­мен­ту пер­вая свеча го­ре­ла (t − 2) ч, а тре­тья — (t − 1) ч, сго­ре­ла ед. длины пер­вой свечи, ед. длины тре­тьей свечи. Эти зна­че­ния тоже равны. Решим урав­не­ние от­но­си­тель­но t.

При­рав­ня­ем пра­вые части урав­не­ний (*) и (**) и решим по­лу­чен­ное урав­не­ние от­но­си­тель­но х.

Ко­рень, рав­ный 3, не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи: он не может быть мень­ше 6.

Под­ход 2.

Пусть тре­тья свеча сго­ра­ет за х ч. Тогда ско­рость сго­ра­ния тре­тьей свечи (1/ч), пер­вой свечи — (1/ч), вто­рой свечи — (1/ч).

Най­дем, через сколь­ко часов после того, как была за­жже­на пер­вая свеча, тре­тья свеча по длине по­рав­ня­лась с пер­вой. Эта ве­ли­чи­на будет равна от­но­ше­нию раз­но­сти длин сго­рев­шей за это время тре­тьей и пер­вой свеч к раз­но­сти их ско­ро­стей сго­ра­ния, т. е.

Ана­ло­гич­но най­дем, через сколь­ко часов после того как была за­жже­на вто­рая свеча, тре­тья свеча по длине по­рав­ня­лась со вто­рой.

По усло­вию за­да­чи раз­ность со­став­ля­ет 2 ч. Решим со­от­вет­ству­ю­щее урав­не­ние.

Но ко­рень, рав­ный 3, не под­хо­дит по смыс­лу за­да­чи: он не может быть мень­ше 6.

Под­ход 3.

Вве­дем обо­зна­че­ния: — ско­рость сго­ра­ния тре­тьей свечи, — ско­рость сго­ра­ния пер­вой свечи, — ско­рость сго­ра­ния вто­рой свечи, t — время, ко­то­рое по­на­до­би­лось вто­рой свече по­рав­нять­ся по длине с тре­тьей.

Длину свеч при­мем за 1. Тогда При этом

Ско­ро­сти сго­ра­ния свеч на­хо­дят­ся в об­рат­ной про­пор­ци­о­наль­ной за­ви­си­мо­сти от не­об­хо­ди­мой для этого вре­ме­ни. По­сколь­ку за время t после за­жи­га­ния пер­вой свечи сго­ре­ли оди­на­ко­вые длины пер­вой и тре­тьей свеч, то

Ана­ло­гич­но со сле­ду­ю­щим усло­ви­ем за­да­чи:

Раз­де­лим почлен­но ра­вен­ство (*) на ра­вен­ство (**): То есть

У по­след­не­го урав­не­ния един­ствен­ный по­ло­жи­тель­ный ко­рень, и он равен 1.

Итак, в со­от­вет­ствии с ра­вен­ством (*):

Не­об­хо­ди­мое время для пол­но­го сго­ра­ния тре­тьей свечи равно

Ответ: 8.

15. За­да­ние 0 № 508622. Не­за­дол­го до вы­бо­ров со­цио­ло­ги­че­ский опрос по­ка­зал, что 60% из­би­ра­те­лей уже ре­ши­ли, за кого из двух кан­ди­да­тов они будут го­ло­со­вать. При этом 55% из них ре­ши­ли го­ло­со­вать за кан­ди­да­та А. Какой про­цент из тех, кто еще не опре­де­лил сво­е­го из­бран­ни­ка, дол­жен го­ло­со­вать за кан­ди­да­та А, чтобы за него про­го­ло­со­ва­ла по край­ней мере по­ло­ви­на из­би­ра­те­лей.