Исследование на устойчивость по первому приближению

Определение. Пусть начало координат - это точка покоя для системы . (1)

И пусть правая часть системы (1) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности, а значит может быть представлена в виде: (2)

это разложение в ряд Тейлора, где А(t) – матрица, а для вектора F(t,x) выполняется: . Тогда линейная однородная система вида (3)

называется первым приближением или линеаризацией системы (1).

Понятно, что матрица А будет состоять из частных производных функции f по переменным , в окрестности точки х=0.

. То есть если матрица А(t)=А не зависит от t (она постоянная), то система уравнений будет асимптотически устойчива, при условие, что .

Пример:

точка покоя асимптотически устойчива.

Типы точек покоя.

I собственные значения - действительны и различны (). Тогда решение можно записать в виде .

1.) - тогда точка покоя будет устойчивым узлом, так как все точки траектории находящиеся в начальный момент в любой - окрестности начала координат, при достаточно большом t, стремится к точкам, принадлежащим сколь угодно малой - окрестности начала координат.

2.) - получим неустойчивый узел.

3.) - тогда точка покоя называется седлом.

II собственные значения комплексные

1.) - тогда точка покоя называется устойчивым фокусом.

2.) - неустойчивый фокус.

3.) - точка будет устойчивой и называться центром.

III - кратные корни.

, е – собственный вектор, f – присоединенный вектор.

1.) , тогда при , то есть точка покоя будет асимптотически устойчивой, это будет устойчивый узел.

2.) , тогда точка покоя – неустойчивый узел.