Второй метод Ляпунова

Определение. Пусть дана система дифференциальных уравнений:

(1)

и эта система имеет решение -константа. Тогда траектория (если рассматривать точку с координатами , а t -время, то изменение координат по времени даст нам некоторую траекторию) сводится к одной точке . Эта точка называется точкой покоя данной системы.

В частности тривиальное решение тоже точка покоя для этой системы, при чем она находится в начале координат.

Определение. Пусть дана система (1), будем исследовать на устойчивость ее точку покоя и ее тривиальное решение. Если с течением времени точки всех траекторий будут приближаться к началу координат или хотя бы не удалятся от него, то тогда данную точку покоя можно назвать устойчивой.

Пусть расстояние от до точки покоя, т.е. . Исследуем знак производной функции , что бы определить характер возрастания или убывания:

В этом выражении правая часть – некоторая известная функция f_i, следовательно, знак этой часть можно определить, т.е. остается потребовать, что бы . В этом случае точка будет устойчива, и траектории всех точек не будут удаляться от начала координат.

Для удобства вычисляют , т.к. знаки производных этих функций совпадают. Но точка покоя может быть устойчива и асимптотически устойчива и при не монотонном приближении к точке покоя с возрастанием t. Поэтому вместо r или r² Ляпунов предложил использовать некоторою функцию: или , которая в некотором смысле является обобщением расстояния от заданной точки до начала координат. Основное свойство V и r: если V мало то и r мало. Такие функции V получили название функции Ляпунова.

Теорема Ляпунова об устойчивости. Если существует дифференцируемая функция , удовлетворяющая в некоторой h окрестности начала координат () ||x||£h при t³t₀ условиям:

1).

W непрерывная функция, обращающаяся в 0 только в начале координат, т.е.