Теория устойчивости

Для приложений весьма актуальным является вопрос определения условий, при которых достаточно малое изменение начальных условий вызывает сколь угодно малое изменение решения. Если х – изменяется на конечном отрезке, то ответ на такой вопрос дает теорема о непрерывной зависимости решения от начальных значений (теорема о существовании и единственности). Если х принимает сколь угодно большие значения, то эти вопросы решает теорема об устойчивости решения.

Определение. Пусть нам дана система дифференциальных уравнений:

(1)

Решения системы (1) устойчивы по Ляпунову, если "e>0 можно найти d(e)>0 такое, что для всякого - решения (1), начальные условия которого удовлетворяют соотношениям (2)

Если два решения одной и той же системы (1) в начальный момент времени отличаются друг от друга на малое число, то для устойчивой системы (1) эти два решения будут отличаться на некоторое малое число во всех точках.

Определение. Если число d из предыдущего определения можно выбирать независящим от начального момента х₀, то такая устойчивость называется равномерной в области Х.

Отметим, что если система (1) удовлетворяет условиям теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных условий, то в определении вместо , может быть записано , т.е. это означает, что при близких начальных условиях решения остаются близкими на конечном отрезке от х₀ до х_n.

Определение. Если при сколь угодно малом d>0, хоть для одного решения второе неравенство из (2) не выполняется, то решение называется неустойчивым.