Порядка методом повышения порядка

Нормальная система двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка имеет вид:

(30)

где х – независимая переменная, y (x) и z (x) – неизвестные функции, f ₁(x) и f ₂(x) – известные функции a ₁, a ₂, b ₁, b ₂ – коэффициенты. Общее решение системы (30) имеет вид:

,

где С ₁ и С ₂ – произвольные постоянные.

Для решения системы (30) методом повышения порядка необходимо исключить одну из неизвестных функций. Для этого можно выразить одну из функций, например, z (x), из одного уравнения системы:

, (31)

продифференцировать ее и подставить z и во второе уравнение системы. После упрощения получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка вида . После получения его решения , следует, используя (31), найти вторую неизвестную функцию: и записать ответ.

Если в системе (30) коэффициенты a ₁, a ₂, b ₁, b ₂ – постоянные, то в результате применения метода повышения порядка получается линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами:

,

решение которого рассмотрено в п.5.

Пример использования метода повышения порядка для решения системы двух линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка приведен в образце выполнения контрольной работы.

Примерный вариант и образец выполнения