Дифференциальные уравнения 2-го порядка

Дифференциальным уравнением 2 -го порядка называется уравнение вида

(14)

где х – независимая переменная, y (х) – неизвестная функция этой переменной, и – ее первая и вторая производные.

Иногда уравнение 2-го порядка встречается в форме, разрешенной относительно второй производной,

Общее решение уравнения 2 -го порядка имеет вид:

(15)

где С ₁ и С ₂ – две произвольные постоянные.

Решение, полученное в неявном виде

называется общим интегралом уравнения 2 -го порядка.

Всякое решение, получающееся из общего решения при конкретных числовых значениях произвольных постоянных С ₁ и С ₂, является его частным решением.

Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка (14) состоит в нахождении частного решения уравнения, удовлетворяющего двум начальным условиям:

, (16)

где – заданные числа.

Для решения задачи Коши нужно подставить в общее решение (15) и его производную заданные начальные условия

,

решить полученную систему двух уравнений относительно неизвестных С ₁ и С ₂ и подставить найденные значения постоянных в общее решение:

– решение задачи Коши.