Го порядка

2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение вида

(4)

называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Отличительной особенностью уравнений этого типа является то, что в правой их части находится произведение функций одна из которых зависит только от x, другая только от y.

Для того, чтобы найти решение уравнения (4), нужно разделить переменные x и y, собрав в левой и правой его частях функции, зависящие только от одной переменной.

Для разделения переменных в уравнении (4) заменим на

и умножим обе части уравнения на

Получили уравнение с разделенными переменными. Общий интеграл этого уравнения, а следовательно, и уравнения (4) находится почленным интегрированием:

где С – произвольная постоянная.

Таким образом, чтобы найти общее решение или общий интеграл уравнения (4), нужно разделить переменные x и y и почленно проинтегрировать полученное равенство.

Пример 1. Решить дифференциальное уравнение:

Решение. Сравнивая данное уравнение с уравнением (4), замечаем, что оно является уравнением с разделяющимися переменными. Заменим на Разделим переменные, умножая обе части уравнения на

.

Интегрируя полученное равенство, получим:

Отсюда – общий интеграл данного уравнения. Разрешая его относительно у, можно записать общее решение данного уравнения в виде

Ответ:

З а м е ч а н и е. Уравнение вида

(5)

также является уравнением с разделяющимися переменными, т.к. здесь коэффициенты при dx и dy являются произведениями функций, каждая из которых зависит только от одной переменной. Уравнение вида (5) решается тем же способом, что и уравнение (4).

2.2. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Дифференциальное уравнение вида

(6)

где – заданные функции, называется линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

Отличительной особенностью линейного уравнения (6) является то, что искомая функция y и ее первая производная входят в уравнение в первых степенях и не перемножаются между собой, т.е. связаны линейно.

Для решения уравнения (6) воспользуемся способом подстановки. Будем искать неизвестную функцию y в виде произведения двух тоже пока неизвестных функций, т.е. положим Тогда Подставив значения y и в уравнение (6), получим: или

(7)

Если выбрать так, чтобы выражение, стоящее в скобках, обратилось в нуль, т.е.

, (8)

то вторая функция должна удовлетворять уравнению

(9)

Таким образом, решение линейного дифференциального уравнения (6) сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными (8) и (9). Общее решение уравнения (6) есть произведение какого-либо частного решения уравнения (8) и общего решения уравнения (9):

(10)

Пример 2. Найти решение дифференциального уравнения

которое удовлетворяет условию (задача Коши).

Решение.Разделив все члены уравнения на х, перепишем уравнение в виде

Сравнивая его с уравнением (6), убеждаемся, что оно является линейным дифференциальным уравнением. Положим Подставив y и в уравнение, получим: , или

(*)

Найдем функцию решая уравнение

(в данном случае удобно использовать логарифмическую константу интегрирования: не С, а ).

Из последнего уравнения получаем:

– общее решение, а при соответствующем подборе получаем – частное решение уравнения .

Подставим найденную функцию в уравнение (*): и найдем функцию – общее решение этого уравнения. ,

откуда

– общее решение уравнения .

Общим решением исходного уравнения является функция

.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию Для этого подставим в общее решение вместо x, y числа соответственно:

Подставляя найденное значение С в общее решение, получим искомое частное решение (решение задачи Коши):

Ответ:

2.3. Уравнения Бернулли.

Дифференциальное уравнение вида

(11)

где n – действительное число, , называется уравнением Бернулли.

Уравнение Бернулли является обобщением линейного дифференциального уравнения (6) и может быть решено тем же способом.

Пример решения уравнения Бернулли приведен в образце выполнения контрольной работы.

2.4.Однородные уравнения.

Функция f(x,y) называется однородной измерения m, если

Дифференциальное уравнение вида

P (x,y) dx+Q (x,y) dy = 0 (12)

называется однородным, если P (x,y) и Q (x,y) – однородные функции одного измерения.

Однородное дифференциальное уравнение может быть приведено к виду

(13)

С помощью подстановки , т.е. y = tx однородное дифференциальное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t (x).

Пример 3. Решить дифференциальное уравнение:

Решение. Здесь , обе функции – однородные, 2-го измерения, т.к. выполнено

.

Разрешим это уравнение относительно . Для этого запишем его в виде и разделим обе части на xydx, заменяя при этом на : .

Введем подстановку y = tx, откуда . Тогда уравнение примет вид:

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции t (х). Разделяем переменные t и х:

Переходим к интегрированию:

Здесь использовано:

Поскольку функцию y (x) сложно выразить явным образом через х и С, запишем решение в форме общего интеграла уравнения.

Ответ: – общий интеграл уравнения.