Дифференциальные уравнения 1-го порядка

Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида

, (1)

где x – независимая переменная, y (х) – неизвестная функция этой переменной, – ее первая производная.

Часто дифференциальное уравнение первого порядка встречается в разрешенной относительно форме

,

или в дифференциальной форме:

P (x,y) dx+Q (x,y) dy = 0.

Решением дифференциального уравнения называется функция которая при подстановке в дифференциальное уравнение обращает его в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием. В результате интегрирования дифференциального уравнения первого порядка получают не одно решение, а семейство решений, зависящих от одной произвольной постоянной С:

– общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка.

Если решение получено в виде, не разрешенном относительно у:

то его называют общим интегралом дифференциального уравнения 1-го порядка.

Всякое решение, получающееся из общего при конкретном числовом значении произвольной постоянной называется частным решением:

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее некоторому начальному условию

(2)

нужно в общее решение уравнения подставить :

(3)

и из полученного уравнения (3) найти затем найденное значение подставить в общее решение. В результате получим частное решение

Задача нахождения частного решения уравнения (1), удовлетворяющего начальному условию (2), называется задачей Коши.

Общее решение задает на плоскости XOY семейство интегральных линий данного дифференциального уравнения, т.к. каждому значению соответствует кривая с уравнением Решению задачи Коши соответствует одна интегральная линия из этого семейства, проходящая через точку .