Интервальные оценки числовых характеристик

Доверительным называется интервал, в который с заданной вероятностью (надежностью) попадают значения параметра Q. Вероятность выбирается близкой к 1: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.

Если случайная величина X распределена по нормальному закону с параметрами m_x и _x: N (m_x, _x), то величина

(7.1)

распределена по закону Стьюдента с (n - 1) степенью свободы, а величина

(7.2)

по закону "Хи-квадрат" с (n -1) степенью свободы.

1. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины X при известной до опыта дисперсии

, (7.3)

где z - значение аргумента, взятое из таблицы Лапласа Ф(z) =, приве­денной в Приложении.

Точность оценки математического ожидания равна половине довери­тельного интервала:

. (7.4)

Замечание: Формулу (7.3) можно также использовать, если закон распределения величины X неизвестен, а значение n достаточно велико.

2. Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины X при неизвестной до опыта дисперсии

(7.5)

или

, (7.6)

где t - значение, взятое из таблицы Стьюдента, приведенной в Приложении;

n - объем выборки.

3. Доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной случайной величины X

(7.7)

или

, (7.8)

где - значения, взятые из таблицы "Хи-квадрат" Приложения.

4. Доверительный интервал для среднеквадратического значения нормаль­но распределенной случайной величины X

. (7.9)

5. Доверительный интервал для вероятности успеха в схеме независимых опытов Бернулли

, (7.10)

где w = m / n - частота появления события в n опытах;

m - количество успешных исходов.

Могут быть полезны следующие формулы:

, (7.11)

. (7.12)

6. Доверительный интервал для параметра распределения Пуассона

. (7.13)

7. Доверительный интервал для коэффициента корреляции rx, y для случая двумерного нормального распределения

, (7.14)

где ; ;

;

- выборочный коэффициент корреляции, вычисляемый по формуле

; (7.15)

xi, yi - значения случайных величин X и Y в i -м опыте.

Пример 7.1. Производится серия независимых опытов с целью определе­ния вероятности события A. В 100 опытах событие произошло 40 раз. Частота события принимается за приближенное значение вероятности этого события. Найти вероятность того, что допущенная при этом ошибка не превышает 0,1.

Решение. Необходимо найти вероятность следующего вида:

.

Воспользуемся формулой (7.12)

.

Так как по условию задачи p w = 40 / 100 = 0,4, то искомая вероятность равна

.

Пример 7.2. Найти минимальный объем выборки, при котором с вероят­нос­тью 0,95 точность оценки математического ожидания нормально распределе­н­ной случайной величины по выборочному среднему равна 0,2, если x = 0,5.

Решение. Из условия задачи известно, что

.

В соответствии с формулой (7.4) точность оценки математического ожидания равна

,

так как 0,2, то

,

отсюда

.

Из таблицы функции Лапласа выбираем значение z 0,95= 1,96.

Следовательно,

Пример 7.3. По результатам 10 измерений определена несмещенная оцен­ка дисперсии . Определить доверительный интервал для дисперсии с надежностью 0,96.

Решение. Воспользуемся формулой (7.7). Из таблицы "Хи-квадрат" выбираем значение .

Поэтому

9 4 / 19,68 Dx < 9 4 / 2,53.

Окончательно

1,829 Dx < 14,23.

Пример 7.4. Выборочный коэффициент корреляции, вычисленный по выборке объема 10, . Найти 90%-ный доверительный интервал для коэффициента корреляции r.

Решение. Доверительный интервал вычисляется по формулам (7.14).

Из таблицы Лапласа выбирается значение z 0,9= 1,645.

Тогда

Аналогично, b = -0,136.

Тогда

,

т.е.

-0,881 r < -0,135.

ЗАДАЧИ

7.1. Вычислить доверительный интервал для математического ожидания емкости конденсатора, если , n = 16 доверительная вероятность = 0,9 среднеквадратическое отклонение известно и равно 4 мкФ.

Ответ: (18,35; 21,65).

7.2. Построить доверительный интервал для коэффициента корреляции двумерной нормально распределенной совокупности по следующим данным:
,n=300, g=0,95.

Ответ: (-0,03; 0,25).

7.3. Производится серия независимых опытов с целью определения веро­ят­ности события A. В результате 100 опытов событие произошло 36 раз. Отно­си­тельная частота принимается за приближенное значение вероятности. Каково должно быть число опытов, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что допущенная при этом ошибка не превыша­ет 0,05?

Ответ: 139.

7.4. Среднее число сбоев в сутки для 100 персональных ЭВМ одного типа равно 2,3. В предположении, что число сбоев имеет распределение Пуассона с параметром l, приближенно найти 95%-ный доверительный интервал для.

Ответ: (2,00; 2,60).

7.5. По результатам 5-ти измерений определена несмещенная состоятель­ная оценка дисперсии . Оценить вероятность того, что истинное значе­ние дисперсии попадает в интервал (5 м2, 20 м2).

Ответ: 0,64.

7.6. Что происходит с длиной доверительного интервала при увеличении объема выборки n и доверительной вероятности?