Числовые характеристики функций случайных величин

Числовые характеристики функции Y = (X) одного случайного аргумента X определяются по формулам:

-начальные моменты

; (4.1)

-математическое ожидание

my = 1(y); (4.2)

-центральные моменты

; (4.3)

-дисперсия

Dy = 2(y) = 2(y) - . (4.4)

Числовые характеристики функции Y = (X 1, X 2) двух случайных непрерывных величин X 1и X 2, имеющих совместную плотность f (x 1, x 2), определяются по формулам:

-начальные моменты

; (4.5)

-центральные моменты

. (4.6)

В случае, когда закон распределения аргументов X 1и X 2неизвестен, а известны только их числовые характеристики m 1, m 2, D 1, D 2, K 12, то математическое ожидание my и дисперсию Dy величины Y = a 1 X 1+ a 2 X 2, где a 1, a 2- константы, могут быть определены по формулам:

my = a 1 m 1+ a 2 m 2, (4.7)

. (4.8)

Если Y = X 1× X 2, то

my = m 1 m 2+ K 12. (4.9)

В случае независимых сомножителей X 1и X 2дисперсия Y может быть определена по формуле

. (4.11)

Пример 4.1 Случайная величина X равномерно распределена от -1 до +1. Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y = X 2. Вычислить корреляционный момент величин X и Y.

Решение. Плотность вероятности X равна:

.

Вычислим математическое ожидание Y по формуле (4.2):

.

Дисперсию Dy рассчитаем по формуле (4.4):

.

Вычислим корреляционный момент Kxyпо формуле (2.5):

Kxy = M XY - mxmy = M XX 2 - mxmy =M X 3 - mxmy.

Так как mx = (a + b)/2 = (-1 + 1)/2 = 0, то

Пример 4.2. Величины X 1, X 2, X 3независимы и имеют следующие числовые характеристики:

m 1= 2, m 2= -3, m 3= 0, D 1= 4, D 2= 13, D 3= 9.

Определить коэффициент корреляции rzy величин Y и Z:

Y = 3 X 1- X 2,

Z = X 3- 2 X 1.

Решение. Вычислим математические ожидания Y и Z по формуле (4.7):

my = 3 m 1- 1 m 2= 9,

mz = m 3- 2 m 1= -4.

Вычислим дисперсию Dy и Dz по формуле (4.8):

Dy = (3)2 D 1+ (-1)2 D 2= 49,

Dz = D 3+ (-2)2 D 1= 25.

Рассчитаем корреляционный момент Kyz по формуле (2.5). Для этого определим M YZ:

M YZ = M(3 X 1- X 2)(X 3- 2 X 1) = M3 X 1 X 3- 6 -

- X 2 X 3+ 2 X 2 X 1 = 3 m 1 m 3- 6M -

- m 2 m 3+ 2 m 2 m 1= -6M - 12.

Так как D 1= M - , то M = D 1+ = 8.

Таким образом, M YZ = -60. Тогда

Kyz = M YZ - mymz= -60 - 9(-4) = -24.

Величину ryz определим по формуле (2.6):

ЗАДАЧИ

4.1. Случайная величина X равномерно распределена от 0 до 1. Определить математическое ожидание и дисперсию величины Y = X - 0,2.

Ответ: my = 0,34, Dy = 0,0574.

4.2. Точка U, изображающая объект на круглом экране радиолокатора, распределена равномерно в пределах круга единичного радиуса. Найти дисперсию расстояния Y от точки U до центра экрана.

Ответ: Dy = 1/18.

4.3. Независимые случайные величины X и Y имеют нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию. Найти коэффициент корреляции случайных величин U = 2 X + Y и V = 2 X - Y.

Ответ: ruv = 0,6.

4.4. В треугольник с вершинами (0, 0), (0, 4), (4, 0) наудачу ставится точка (X, Y). Вычислить M XY и D X + Y.

Ответ: M XY = 12/9, D X + Y = 8/9.