Основные положения. Устойчивость линейных систем не зависит от величины возмущения

Устойчивость линейных систем не зависит от величины возмущения. Система устойчивая при малых возмущениях будет устойчивой и при больших возмущениях, поэтому достаточно исследовать и определить устойчивость в малом, т.е. найти устойчивость на основе анализа уравнения, записанного в форме приращений. Допустим, что в установившемся состоянии регулируемая величина имеет некоторое значение x₀. Выведем систему из этого состояния при помощи какого-либо воздействия так, чтобы x₀ изменилась на . И после этого устраним причину, вызвавшую это изменение, тогда система будет устойчивой, если будет выполняться условие: .

В случае невыполнения этого условия система будет неустойчивой. Допустим, что изменение регулируемой величины в процессе регулирования описывается линейным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами, тогда отклонение также будет описываться дифференциальным уравнением этого порядка. Интегрируя полученное уравнение, находят закон изменения интересующей переменной по времени, согласно которому можно сделать заключение о характере переходного процесса (устойчивый, неустойчивый). Устойчивость системы определяют характером свободного движения системы, т.к. свободное движение системы описывается однородным дифференциальным уравнением (без правой части), то для нахождения условий устойчивости достаточно исследовать свойства решения однородного дифференциального уравнения. В общем случае для системы n-го порядка имеем дифференциальное уравнение, которое описывает поведение отклонения регулируемой величины:

,

где а₀, а₁, а_n- постоянные коэффициенты, величина которых зависит от параметров САУ.

Решение может быть представлено в виде: = , где A_i- постоянная интегрирования, определяется из начальных условий; - корни, характеризующие свободное движение и определяемые из характеристического уравнения: .

Исследуем характеристическое уравнение с точки зрения устойчивости системы. Согласно определению для устойчивости системы необходимо, чтобы отклонение при t , а это возможно только тогда, когда все составляющие уравнения с течением времени стремятся к 0. Поскольку все A_i=const, то, следовательно, характер поведения каждой составляющей зависит от . Если - положительное, вещественное число, то составляющая будет увеличиваться до бесконечности. При отрицательных вещественных корнях составляющая свободного движения при t монотонно убывает до 0.