Ренты с неоднократными выплатами в году

Если выплаты производятся р раз в году, то такая рента называется р-срочной или рентой с неоднократными выплатами в году. Начисления на первую выплату каждого года, равную R/p, производятся р - 1/р лет, на вторую - р - 2/р лет, на предпо­следнюю — 1/р лет, на последнюю — 0 лет. Наращенная сумма за каждый отдельный год в конце этого года составит:

Д, =R!px{l + i)^<p-'^>lp +R/px(] + i)"'~¹⁾'^p +... + R/px(l + i)"^p +R/p.

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен (1 + i)l/p. Поэтому:

A, =R/ px-

Сумма всех ежегодных платежей, равных Л1, в течение п лет вычисляется по формуле:

S = «,x^-^=Kx

(3.1.13)

■м. О*')'-'

(3.1.14)

- коэффициент наращения ренты, табулированная функ­ция.

Дисконтированная величина первой выплаты каждого года на начало этого года равна

R/p¹

— -~-, (1+0"'

(\+i)2lp

второй - R/рх

предпоследней R/px

Современная стоимость выплат за каждый отдельный год в начале этого года составит:

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен

а количество членов - р. Поэтому:

1_1„,- ( 1

_А =R/_px ', X ——

^р i-0+o"' (а+о

Сумма всех ежегодных, дисконтированных на начало этого года платежей за я лет вычисляется по формуле:

Подставив сюда выражение для А\, получим:

Это выражение обычно записывают в виде:

(3.1.16)

- коэффициент наращения ренты, табулированная функ­ция.

Пример 3.1.4. В фонд ежегодно поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются процен­ты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся в кон­це квартала. Определить коэффициенты наращения и приведе­ния ренты, а также величину фонда на конец срока и его совре­менную стоимость.

Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (3.1.14):

1,15'-I

= 11,671179 руб-

Наращенная сумма S = Rxs^<p),,< = 10000x11,671179 = 116711,79/>уб. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (1.3.16):

^Р-l\ 4x(01,15^1/J-l)

Современная стоимость фонда:

А = Rxa^lp),,, = 10000x4,387629 = 43876,29^.

Рента с начислением процентов по номинальной процентной ставке и с неоднократными

выплатами в году

Самым общим типом является рента с начислением про­центов номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году.

В любом году производится р выплат по R/p руб., где R -годовая выплата. Количество начислений процентов в году по номинальной ставке j равно т. Срок ренты п лет. Количество на­числений на первую выплату любого года к концу этого года рав­но (р - I) т/р, на вторую — (р - 2) т/р, на предпоследнюю — т/р, на последнюю - 0. Наращенная сумма на все выплаты года к концу этого года определяется соотношением:

+ R/px(l + j/m)""^p +R/p

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен (1 + j I m)'"'^p, количество членов - р, поэтому сумма:

Количество начислений до конца ренты на наращенную сумму первого года равно (л - \)т, на наращенную сумму второ­го года - (я - 2)т, на наращенную сумму предпоследнего года - т, на наращенную сумму последнего года — 0. Тогда наращен­ная сумма всей ренты:

S = Rx

Перепишем это выражение в виде:

S = Rxs_m,_i)/m,

- коэффициент наращения ренты, табулированная функ-

ЦИЯ.

Определим современную стоимость ренты. Так как коли­чество приведений на первую выплату любого года к началу это­го года равно т/р, на вторую - 2т/р, на предпоследнюю -{р-1)хт/р, на последнюю - т, то дисконтированная величина первой выплаты каждого года на начало этого года равна

R/ пх---, ВТОрОЙ — RI ПХ:,

(l+j/my'" (l+j/m)²""¹'

предпоследней - R/ рх~

Современная стоимость выплат за каждый отдельный год в начале этого года составит:

1 1
R_t-R/py }*,_P^+R/px-: J^77 ⁺

1 1

Л/рх-- , _n, +R/px- -.

И A- i! т\ <Р~''^т 'Р Па.! / гн\^т

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен

v^m'^p =

, а количество членов - р. Поэтому:

R,=R/p

l-Q+j/m)-"¹

Количество приведений на современную стоимость 1-го года равно 0, на современную стоимость 2-го года - т, на современную стоимость 3-го года - 2т, на современную стоимость последнего года — (я - 1) х т. Тогда современная стоимость всей ренты: 78

Перепишем это выражение в виде:

(3.1.20)

— коэффициент наращения ренты, табулированная функ­ция.

Пример 3.1.5. В фонд ежегодно поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются процен­ты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся в кон­це квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Нужно определить коэффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоим*?иг«ие- Коэффициент наращения ренты находим по формуле (3.1.18):

Наращенная сумма S = Rxs_mn._Jlm =10000х12,10876 = 121087,6#уб.

Коэффициент приведения ренты находим по формуле (3.1.20):

-, = 4,264981.

Современная стоимость фонда:

Из соотношений (3.1.17) и (3.1.18), а также из (3.1.19) и (3.1.20) следуют формулы для частного случая, когда количество начислений процентов в году равно количеству выплат в году. Подставив в эти соотношения т = р, найдем:

(1-3.21)

Пример 3.1.6. В фонд ежегодно поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются процен­ты по ставке 15% годовых, причем проценты начисляются и вы­платы производятся Б конце каждого месяца. Требуется опреде­лить величину фонда на конец срока.

Решение. Наращенная сумма определяется по формуле (3.1.21):

Ренты с выплатами в начале а в середине периодов

При расчете характеристик рент с выплатами в начале и в середине периодов используются характеристики аналогичных рент постнумерандо.

При выплатах в начале периода (рента пренумерандо) на­ращенная сумма годовой ренты определяется выражением:

S, =Sx(l + i). (3.1.23)

Здесь i|Hi- наращенная сумма годовой ренты пренуме­рандо и постнумерандо соответственно. Таким образом, нара­щенная сумма годовой ренты пренумерандо в (I + /) раз больше наращенной суммы годовой ренты постнумерандо. Это связано с

тем, что число периодов начисления процентов для ренты пре-нумерандо больше на единицу.

Можно показать, что аналогичная зависимость существует между современными стоимостями рент пренумерандо и пост­нумерандо, т. е.:

А, = Ax(l + i). (3.1.24)

Здесь А\ и А - современная стоимость годовой ренты пре­нумерандо и постнумерандо соответственно.

Пример 3.1.7. В фонд ежегодно в начале года поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисля­ются проценты по ставке 15% годовых. Нужно определить вели­чину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Величина фонда на конец срока определяется по формуле:

5, =10000x^-^x1,15 = 127268,18^6 ■

Современная стоимость фонда: А, =10000хЬЫ!_х1Д5

В любом году производится р выплат по R/p руб., где R — годовая выплата. Причем выплаты осуществляются в начале пе­риода. Количество начислений процентов в году по номиналь­ной ставке j равно т. Срок ренты — «лет. Количество начисле­ний на первую выплату любого года к концу этого года равно т, на вторую - (р - У)т/р, на третью - (р - 2)т/р, на последнюю - т/р. Наращенная сумма на все выплаты года к концу этого года определяется соотношением:

A_} = Rl px(l + jIт)¹" + R/ px(l + j Iт)¹-"-'¹'^р)щ +... + R/ px(l + j Im)^m''" =

Знаменатель геометрической прогрессии, сумма которой помещена в квадратные скобки, равен (1 + j/m)in/p, количество членов — р, поэтому:

, (Иу/"0*-1

W

Количество начислений до конца ренты на наращенную сумму первого года равно (п - \)т, на наращенную сумму второ­го года — (я - 2)т, на наращенную сумму предпоследнего года - т, на наращенную сумму последнего года - 0. Тогда наращен­ная сумма всей ренты:

Перепишем это выражение в виде:

St'Sx(l + j!m)^m", (3.1.24)

где S\, S ~ наращенная сумма ренты пренумерандо и по-стнумерандо с начислением процентов по номинальной про­центной ставке и неоднократными выплатами в году, соответст­венно.

Аналогично формула для современной стоимости ренты:

A_l=Ax(\+j/m)^mlp, {3.1.25)

где А\, А — современная стоимость ренты пренумерандо и постнумерандо с начислением процентов по номинальной про­центной ставке и с неоднократными выплатами в году, соответ­ственно.

Пример 3.1.8. В фонд ежегодно поступают средства по 10 000 руб., на которые начисляются проценты в течение семи лет по ставке 15%- годовых, причем выплаты производятся в начале каждого квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Нужно, определить наращенную сумму и современную стоимость фонда.

Решение. Наращенная сумма находится по формуле \ (3.1.24):

S, =R

Наращенная сумма ренты постнумерандо:

S = Rxs_m^_im =10000x12,10876 = 121087,6руб.

Наращенная сумма исследуемой ренты:

Современная стоимость ренты постнумеранцо:

А = R х а^шлт = 10000x4,264981 = 4264981 = 42649,81/>уб. Современная стоимость исследуемой ренты: A_i = Ax{\+jlm)^mlp =42649,8I(l + 0,15/12)^12M = 44269,25 руб.

В любом году производится р выплат по R/p руб., где R — годовая выплата. Выплаты производятся в середине периода. Количество начислений процентов в году по номинальной став­ке j равно т. Срок ренты - и лет. Количество начислений на первую выплату любого года к концу этого года равно (р - Х)т/р + т/2р, на вторую — (р - 2)т/р + т/2р, на предпо­следнюю - Зт/2/>, на последнюю - т/2р. Наращенная сумма на все выплаты года к концу этого года определяется соотношением:

R_t = RJ рх(\ + j/ тУ"¹'"**""²" + R/ px(l + j / m)^ip-^lp'^p)m*"ⁱⁿⁱ' +...+

Знаменатель геометрической прогрессии, сумма которой записана в квадратных скобках, равен (1 + j/m)m/p, количество членов - р, поэтому общая сумма:

Количество начислений до конца ренты на наращенную сумму первого года равно (я - 1)т, на наращенную сумму 2-го года - (л - 2)т, на наращенную сумму предпоследнего года - т, последнего года — 0. Тогда наращенная сумма всей ренты:

Перепишем это выражение в виде:

S_U2 = Sx(l + j/m)^ml2'^!, (3.1.26)

где S[/2, S - наращенная сумма ренты с выплатами в се­редине периода ренты постнумерандо с начислением процентов

по номинальной процентной ставке и с неоднократными выпла­тами в году, соответственно.

Аналогично формула для современной стоимости ренты:
A_in =A-x(\ + jlm)^a"^2p, (3.1.27)

где A_SI2, A - современная стоимость ренты с выплатами в середине периода ренты постнумерандо с начислением процен­тов по номинальной процентной ставке и с неоднократными выплатами в году соответственно.

Пример 3.1.9. В фонд ежегодно поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисляются процен­ты по ставке 15% годовых, причем выплаты производятся в сере­дине каждого квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Опре­делить наращенную сумму и современную стоимость фонда.

Решение. Наращенная сумма находится по формуле (3.1.26):

S,_l3=Rx p

Наращенная сумма ренты постнумерандо: S = Rxs_mijlm =10000x12,10876=121087,6^6. Наращенная сумма исследуемой ренты: S_U2 = Sx(\ + jim)^ml2p =I21087,6x(I + 0,15/12)^12/8 = 123365,07^6.

Современная стоимость ренты постнумерандо: A = Rxa^<p)m,.ji_ni = 10000x4,264981 = 42649,81/>уб. Современная стоимость исследуемой ренты: A_U2=Ax(l + j/m)^ml2p =42649,81х(1 + 0Д5/12)^12/8 =43451,99^6.

Из соотношений (3.1.26) и (3.1.27) следуют формулы для других типов рент. Для годовой ренты т - 1, р — 1:

Для ренты с начислением процентов т раз в году и при выпла­тах один раз в году, т. е. при р = 1:

Для ренты с начислением процентов один раз в году, т. е. т = 1, и при выплатах р раз в году:

Отложенные ренты

Отложенными называются ренты, у которых начало выплат сдвинуто вперед. При расчете современной стоимости такой ренты вначале находят современную стоимость исходной ренты, у которой моментом приведения считается начало выплат, а за­тем приводят полученный результат к началу отложенной ренты. Для годовой отложенной ренты современная стоимость Й рас­считывается по формуле:

t^A = Axv'^Rxa_n.,v', (3.1.28)

где А - современная стоимость исходной ренты, у которой мо­мент приведения считается начало выплат;

t - время задержки в выплате ренты;

а„, — коэффициент приведения ренты к началу вы­плату' = (1+ /)■'.

Пример 3.L 10. Спустя три года после образования в фонд начинают поступать средства по 10 000 руб. в конце каждого го­да в течение последующих 7 лет, на которые начисляются про­центы по ставке 15% годовых. Нужно определить современную стоимость и наращенную сумму фонда.

Решение. Современная стоимость фонда определяется по формуле (3.1.28), которую перепишем в виде:

Подставив сюда данные примера, получим:

3^А =10000х¹~^{а +} °'¹⁵⁾—ха + 0Д5)~³ = 27355,44рИэ.

Наращенная сумма фонда определяется по формуле:

5 = Дх^^{1 +} '? ~^Х = lOOOOx¹'¹⁵ "' = 1 10661,99руб.

Рассмотрим одну из задач, решаемых с помощью отложен­ной ренты. Пусть годовая рента постнумеравдо, имеющая годо­вую выплату R и срок и, делится между двумя участниками (на­пример, наследниками), причем первому участнику причитается доля X капитализированной стоимости ренты, второму— (1 - <t). Определить время получения ренты первым — п\ и вторым — «2 участниками.

Если известно время получения ренты первым участни­ком, то время получения вторым определяется по формуле:

и₂=и~и,. (3.1.29)

Из условия задачи следует соотношение А₁/х=,А₂/1~х. Раскрыв это выражение, получим:

Учитывая соотношение (1.3-29), а также следующее из ус­
ловия задачи равенство п\ = t, полученную формулу можно пе­
реписать в виде: '

Прологарифмировав последнее выражение, получаем: - и, х 1п(1 + 0 = ln[l - х + х(1 + 0"" j-Окончательно получим:

(3.1.30)

Пример 3.1.11. Пусть годовая рента постнумерандо со сро­ком 20 лет делится между двумя участниками, причем первый участник получает 25% от капитализированной стоимости рен­ты. Процентная ставка принимается равной 15% годовых. Опре­делить длительность периодов получения ренты первым и вто­рым участниками.

Решение. Срок получения ренты первым участником опре­деляется формулой (3.1.30):

Можно положить H_t«2 года. Доля второго участника - сле­дующие 18 лет.