Годовая рента

Постоянной называется рента, выплаты которой не изме­няются во времени.

Мы будем рассматривать в основном ренты постнумеран­до. Связь рент постнумерандо с остальными типами будет уста­новлена позже.

Рассмотрим различные виды финансовых рент.

Годовая рента постнумерандо предусматривает выплаты на­числения процентов один раз в конце года.

Определим наращенную сумму годовой ренты. Пусть в те­чении я лет в банк в конце каждого года вносится сумма R руб., на которую начисляются сложные проценты по ставке /' % годо­вых. Таким образом, на первый взнос проценты начисляются я-1 год, на второй — п-2 года и т. д.

Наращенная сумма к концу срока будет равна:

Если посмотреть на это выражение справа налево, то мож­но увидеть, что оно является суммой геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии q = 1 + /. Сумма геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

где R — первый член прогрессии;

и - количество членов прогрессии. Таким образом, нара­щенная сумма годовой ренты к концу срока вычисляется по формуле:

(3.1.4)

Часто эту формулу записывают в виде:

S = Rxs_nj, (3.1.5)

(3.1.6)

~ коэффициент наращения ренты, табулированная функ­ция.

Для определения современной стоимости годовой ренты необходимо каждый платеж продисконтировать на начало срока ренты и сложить все дисконтированные платежи. Дисконтиро­ванное значение первого платежа равно Rv, второго — Rv, по­следнего — Rv, где:

1 v = —.

l+i

Современная стоимость, равная сумме всех платежей, оп­ределяется соотношением

A = Rxv + Rxv²+Rxvⁱ+... + Rxv" = Rxv(\ + v + v² +... + v"'^L).

Выражение в скобках является суммой геометрической прогрессии со знаменателем прогрессии v и с количеством чле­нов прогрессии, равным п. Таким образом, современная стои­мость годовой ренты вычисляется по формуле:

Часто эту формулу записывают в виде:

A = Rxa_Kj, (3.1.7)

(3.1.8)

- коэффициент приведения ренты, табулированная функ­ция.

Пример 3.1.2. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисля­ются проценты по ставке 15% годовых. Нужно определить ко­эффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (3.1.6):

Наращенная сумма:

S = Rxs_nj = 10000 х 11,066799 = 11 06667,99руб.

Коэффициент приведения ренты находится по формуле (3.1.8):

Современная стоимость определяется соотношением (3.1.7):

A = Rxa,, = 10000x4,16042 = 41604,2руб.

Ренты с начислением процентов по номинальной процентной ставке

Для годовой ренты с начислением процентов по номи­нальной процентной ставке проценты начисляются т раз в году каждый раз по ставке j/m, где у - номинальная ставка.

Срок ренты равен п лет. Количество начислений на пер­вую выплату равно (я - 1), на вторую - (я - 2)т, на предпослед­нюю - т, на последнюю - 0. Отсюда следует выражение для наращенной суммы ренты:

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен

q = (1 + -i)^M > т

а количество членов — пт. Таким образом:

s = r_x ^+т = йх_5мя//я,. (3-1.9):

аДг-i

где

J^l+m^r'~^l (3.1.10)

- коэффициент наращения ренты, табулированная функ­ция.

Для определения современной стоимости ренты определим дисконтные множители каждого платежа. Дисконтный множи­тель для первой выплаты равен

(\+j/m)^m для последней —

i

Отсюда следует выражение для современной стоимости ренты:

Знаменатель этой геометрической прогрессии равен

q = (1 + —)'", а количество членов - п. т

Таким образом:

Иначе эту формулу записывают в виде:

- коэффициент приведения ренты, табулированная функ­ция.

Пример 3.1.3. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по 10 000 руб. в течение семи лет, на которые начисля­ются проценты по номинальной ставке 15% годовых, причем проценты начисляются поквартально. Требуется определить ко­эффициенты наращения и приведения ренты, а также величину фонда на конец срока и его современную стоимость.

Решение. Коэффициент наращения ренты находится по формуле (3.1.10):

'"" (|+!)--1 (1+0,15/4)'-!,

Нарашенная сумма:

S = ДХ5„„,_;/,„10000Х11,366392 =113663,92 руб.

Коэффициент приведения ренты определим по формуле (3.1.12):

^ат"'"^т ~ \-{\+]1тУ ~ 1-0+0Д5/4)⁴

Современная стоимость ренты:

A = Rxa_mn__]lm = 10000x4,054672 = 40546,72 дуб.