Процент и процентная ставка

Под процентными деньгами или процентами (interest) по­нимают абсолютную величину дохода от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача ссуды, продажа товара в кредит, помещение денег на депозитный счет, учет векселя, покупка сберегательного сертификата или облигации и т. д. Какой бы вид или происхождение ни имели проценты, это всегда кон­кретное проявление такой экономической категории, как ссуд­ный процент.

Практика получения процентов за вьшанные в долг деньги существовала задолго до нашей эры. Например, в Древней Гре­ции взимали от 10 до 36% суммы долга в год. В Русской Правде годовой рост на занятый капитал определялся в 40%.

Следует подчеркнуть, что в данном случае процент являет­ся абсолютной величиной, выраженной в денежных единицах, а не сотой частью числа. Обозначим величину процента через /. Тогда, если в финансовую операцию в начале периода была вло­жена сумма Р, а по завершении этой операции получена сумма TV, то величина процента определится следующим образом:

I = TV -P

(2.1.1)

где TV - полученная новая сумма (конечная стоимость) по исте­чении периода осуществления финансовой операции (периода нахождения первоначальной суммы на депозите, срока ссуды, владения ценными бумагами и др.);

Р — первоначальная сумма, положенная, например, в банк на депозит (или выданная в кредит, или вложенная в какую-то иную финансовую операцию).

Процент является одной из форм более обшего понятия -экономического эффекта. Экономический эффект - это разность между результатом и затратами.

Процедура увеличения первоначальной суммы денежных средств называется наращением, a TV — конечной или наращен­ной суммой.

В реальной жизни величина процентной ставки в боль­шинстве случаев является первичной и используется для нахож­дения размера процента.

Под процентной ставкой понимается относительная вели чина дохода за фиксированный отрезок времени — отношение дохода (процентных денег) к сумме дол]

i-L. (2.1.2)

Величина процентной ставки определяется в расчете на за­данный базовый период, как правило, на год.

Процентная ставка - один из важнейших элементов ком-1 мерческих, кредитных или инвестиционных контрактов. Она! измеряется в виде десятичной или обыкновенной дроби (в по-1 следнем случае она фиксируется в контрактах с точностью до! 1/16 или 1/32) или в процентах. При выполнении расчетов про-(центные ставки обычно измеряются в десятичных дробях.

Временной интервал, к которому приурочена процентная! ставка, называют периодом начисления (running period), его не " следует путать со сроком начисления. В качестве такого периода принимают год, полугодие, квартал, месяц или даже день. Чаще всего на практике имеют дело с годовыми ставками.

Размер процентной ставки зависит от ряда как объектив­ных, так и субъективных факторов, а именно: общего состояния! экономики, в том числе денежно-кредитного рынка; кратковре-1 менных и долгосрочных ожиданий его динамики; вида сделки^ ее валюты; срока кредита; особенностей заемщика (его надеж сти) и кредитора, истории их предыдущих отношений и т. д. 38

В финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но и в более широком смысле - как измеритель степени доходности (эффек­тивности) любой финансовой, кредитной, инвестиционной или коммерческо-хозяйственной деятельности вне зависимости от того, имел место или нет факт непосредственного инвестирова­ния денежных средств и процесс их наращения. В старой рус­ской финансовой литературе такую ставку называли ставка по­мещения.

Виды процентных ставок

Существуют различные способы начисления процентов, зависящие от условий контрактов. Соответственно применяют разные виды процентных ставок. Можно выделить ряд призна­ков, по которым различаются процентные ставки.

Для начисления процентов применяют постоянную базу начисления и последовательно изменяющуюся (за базу прини­мается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования). В первом случае используют простые, во вто­ром — сложные процентные'ставки, при применении которых проценты начисляются на проценты.

Обозначим через; величину процентной ставки в десятич­ном измерении.

Можем записать следующие выражения:

7Vj = Р+ Pi = Px(l + i) - сумма, начисленная за первый год;

TV₂ = P+Pi + Pi = Px(1 + 2j) — сумма, начисленная за вто­рой год;

ТУ„ =Px(l + «xi) - сумма, начисленная за n-й год, (2.1.3)

Величина процента с учетом формулы определится сле­дующим образом:

I=TV_n-P = PxQ + nxi)-P = Pxnxi ' (2.1.4)

Сложная процентная ставка - это такая ставка, при кото­рой процент начисляется на постоянно нарастаюшую базу с уче­том процентов, начисленных в предыдущие периоды («проценты на проценты») Абсолютная сумма начисляемых процентов воз­растает, и процент увеличения суммы долга происходит с уско­рением. Присоединение начисленных процентов к сумме, кото-

рая послужила базой для их начисления, часто называют капитализацией процентов. Имеем:

7V, = P + Pi = Px(\ + i) — сумма, начисленная за первый год;

TV2 = Px(l + i)+Px(l + i)xi = Px(l + i)2 - сумма, начисленная за второй год;

7У„ =Р(1 + 0" - сумма, начисленная за я-й год. (2.1.5)

Величины (I + я х 0 и (I + i)n называются коэффициентами (множителями) наращения простых и сложных процентов соответственно.

Важным является выбор принципа расчетов процентных денег. Существует два таких принципа: от настоящего к будущему и, наоборот, от будущего к настоящему. Соответственно применяют ставки наращения (interest base rate) и дисконтные, или учетные, ставки (discount base rate). В финансовой литературе проценты, полученные по ставке наращения, принято называть декурсивными, по учетной ставке — антисипативными. (В России этим понятиям соответствовали проценты «на 100» и «со 100».)

В ряде случаев проценты представляют скидку с некоторой конечной суммы, принимаемой за 100%. Например, в банковской практике учета векселей стоимость векселя является конечной суммой, с которой производится скидка по определенной ставке, называемой учетной.

Разница между стоимостью векселя и суммой, которую банк выдаст по этому векселю, называется дисконтом. Обозначим учетную ставку через d. Если вексель учитывается за один год до погашения, то величина дисконта может быть определена по формуле D = TVxd, а сумма, которую получит векселедержатель (она является в данном случае первоначальной), определится так:

P = TV-TVxd = TVx(l-d). (2.1.6)

В ситуации, когда учет происходит за несколько лет до погашения, формула при использовании простой учетной ставки принимает вид:

для двух лет: Р = TVx(l-d)-TVxd = TVx(\-2d);

для трех лет: P = TVx(l-2d)-TVxd = TVx(l-3d);

для идет: Р = 7Ух(1-лхй). (2.1.7)

Так же как ставка наращения, учетная ставка может быть простой и сложной. Случай простой учетной ставки рассмотрен выше. Если используется сложная ставка, то формула расчета первоначальной суммы будет иметь вид:

P = TVx(l~d)". (2.1.8)

Процентные ставки могут быть фиксированными (в кон­тракте указываются их размеры) или плавающими (floating). В последнем случае указывается не сама ставка, а изменяющаяся во времени база (базовая ставка) и размер надбавки к ней -маржи. Классическим примером базовой ставки может служить Лондонская межбанковская ставка ЛИБОР (LIBOR: London interbank offered rate). В России применяются базовые ставки по рублевым кредитам МИБОР. Размер маржи определяется рядом условий, в частности, финансовым положением заемшика, сро­ком кредита и т. л. Он может быть постоянным на протяжении срока ссудной операции или переменным.

Важное место в системе процентных ставок занимает ставка рефинансирования Центрального Банка России — ставка, по которой ЦБ выдает кредит коммерческим банкам.

Добавим, что при последовательном погашении задолжен­ности возможны два способа начисления процентов. Согласно первому процентная ставка (простая или сложная) применяется к фактической сумме долга. По второму способу простые про­центы начисляются сразу на всю сумму долга без учета последо­вательного его погашения. Последний способ применяется в по­требительском кредите и в некоторых других (правда, редких) случаях.

Номинальная, периодическая и эффективная ставки. Номи­нальная процентная ставка - это исходная годовая ставка, кото­рую назначает банк для начисления процентов. В своей исход­ной (номинальной) величине данная ставка может быть исполь­зована при начислении процентов один раз в году. Если процен-т'.' начисляются более одного раза в году, то установленная ве­личина корректируется в зависимости от количества таких на-члслений.

Термин «номинальная ставка» иногда используется также для обозначения процентной ставки, «не очищенной* от инфля-

ции, в отличие от реальной — «очищенной» ставки. В этом слу­чае номинальная ставка описывает совершенно другие процес­сы, нежели начисление процентов. Равноправное хождение имеют обе трактовки номинальной ставки.

Поскольку во многих случаях проценты начисляются не­сколько раз в году, годовая ставка должна быть соответствую­щим образом преобразована. Если проценты начисляются т раз в году, то для разового начисления процентов используется так называемая периодическая ставка. Иногда ее именуют релятив­ной. Период, за который начисляются проценты, называется конверсионным.

Периодическая процентная ставка (обозначим ее через у_р) может быть определена двумя способами.

1. Если известно количество начислений процентов в те­
чение года, то:

y_m = yhn, (2.1.9)

где у — номинальная процентная ставка;

т — количество начислений процентов в течение года.

2. Если известно количество дней, за которые начисляется
процент, то:

y_p = y*z/K, (2.1Л0)

где z — количество дней, по истечении которых осуществ­ляется разовое начисление процента;

К - принимаемое в расчет количество дней в году (К = 360 или 365 дней).

Предположим, что начисляются сложные проценты т раз в году. По истечении первого периода, в течение которого на­числяется процент, наращенная сумма средств составит:

По окончании второго периода: В целом за год:

TV - Рх([ + у/т)"', (2.1.11)

где т — количество начислений процентов в течение года.

Если финансовая операция продолжается п лет, то форму­ла будет иметь вид:

Теперь необходимо определить, во сколько раз и на сколь­ко процентов увеличивается первоначальная сумма за год. Вычтя Р из обеих частей выражения и разделив остаток на f, нахояим:

(2.1.13)

Отсюда видно, на сколько увеличилась первоначальная сумма. Переведя этот результат в процентное исчисление, име-

(₃=Kl+y/m)'"-l]xlO0_s (2.1.14)

где величина i₃ — эффективная ставкз.

Эта ставка измеряет тот реальный относительный доход, который получают в целом за год. Иначе говоря, эффективная ставка — это годовая' ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m-разовое начисление процентов по ставке j/m.

В практических расчетах применяют так называемые дис­кретные проценты, т. е. проценты, начисляемые за фиксирован­ные интервалы времени (год, полугодие и т. д.). В некоторых слу­чаях — в доказательствах и аналитических финансовых расчетах, связанных с процессами, которые можно рассматривать как не­прерывные, в общих теоретических разработках и значительно реже на практике — возникает необходимость в применении не­прерывных процентов (continuous interest), когда нарашение или дисконтирование производится непрерывно, за бесконечно малые промежутки времени. В подобных ситуациях применяют специ­альные непрерывные процентные ставки. С помощью непрерыв­ных процентов удается учесть сложные закономерности процесса наращения, например, использовать изменяющиеся по опреде­ленному закону процентные ставки.

Из курса математического анализа известно выражение:

lim (l + 1/n)" =е, (2.1.15)

где е — число Эйлера, которое используется как основание натурального логарифма (2,71828), или:

(2.1.16)

Обозначим годовую непрерывную ставку через д. Приме­нительно к случаю непрерывной ставки имеем:

(2.1.17)

Таким образом, для случая непрерывного начисления про­центов наращенная сумма за п лет определится формулой:

(2.1.18) \

Эффективная ставка при непрерывном наращении рассчи­тывается так:

•-i)xioo.

(2.1.19)

Сама непрерывная ставка может быть постоянной либо изменяющейся. Причем ставка может также изменяться дис­кретно или непрерывно. Например, установлено, что за первый год непрерывная ставка составляет 2%, с начала второго года увеличивается на 1%, а с начала третьего года - еще на 1%. В этом случае коэффициент наращения за три года будет равен:

е⁰-⁰² х e^MJ х е^ОрМ = 1,02 х 1,03 х 1,041 = 1,093.

Но возможна ситуация, когда сама ставка изменяется непре­рывно в течение определенного периола на заданную величину. В этом случае для расчета наращенной суммы используется формула:

где q, - заданная функция изменения непрерывной ставки | во времени.

Предположим, что ставка изменяется линейно, и функция имеет вид: q_t=q_Q+bxt, где q_o — величина процентной ставки на начало периода, Ь — изменение ставки за год, t - время. Для данного вида зависимости можем записать:

(1.2.21)

Предположим, что ставка на начало периода равна 6%, изменяется линейно и непрерывно на 1% за год. Период нара­щения - 4 года. Найти коэффициент наращения:

Дисконтирование

Временная ценность денежных вложений относится' к од­ной из основных концепций, используемых в инвестиционно анализе. Необходимость учета временного фактора заставляет уделять особое внимание оценке базовых финансовых показате­лей. Разность в оценке текущих денежных средств и той же са­мой их суммы в будущем может быть связана с:

•негативным воздействием инфляции, в связи с чем про­
исходит уменьшение покупательной способности денег;

•возможностью альтернативною вложения денежных
средств и их реинвестирования в будущем (фактор упущенной
выгоды);

•ростом риска, связанного с вероятностью невозврата ин­
вестированных средств (чем длительнее срок вложения капитала,
тем выше степень риска);

•потребительскими предпочтениями (лучше получить
меньше доход в ближайшем периоде, чем ожидать больший, но
в отдаленной перспективе).

Дисконтирование — это процесс нахождения первоначаль­ной суммы, исходя из известной величины наращенной суммы. В более общем виде математическое дисконтирование можно считать определением современной стоимости по известной ве­личине будущей стоимости.

Термин «дисконтирование» употребляется и в более широ­ком смысле - как средство определения любой стоимостной ве­личины, относящейся к будущему, на более ранний момент вре­мени. Такой прием часто называют приведением стоимостного показателя к некоторому обычно начальному моменту времени. (Приведение может быть осуществлено на любой, в том числе промежуточный момент времени.)

Величину Р, найденную с помощью дисконтирования, на­зывают современной стоимостью, или современной величиной (present value) будущего платежа TV, а иногда - текущей, или капитализированной, стоимостью. Современная величина суммы денег является одним из важнейших понятий в количественном анализе финансовых операций. В большинстве случаев именно с помощью дисконтирования, а не наращения удобно учитывать такой фактор, как время. Как будет показано далее, большинст­во аналитических методов основывается на определении вре­менной величины платежей.

В зависимости от вида процентной ставки применяют два вида дисконтирования - математическое дисконтирование и банковский (коммерческий) учет. В первом случае применяется ставка наращения, во втором - учетная ставка.

Математическое дисконтирование предстаатает собой ре­шение задачи, обратной наращению первоначальной суммы ссу­ды. Задача в этом случае формулируется так: какую первона­чальную сумму ссуды надо выдать в долг, чтобы получить в кон­це срока сумму TV, при условии, что на долг начисляются про­центы по ставке /?

Формула дисконтирования по сложным процентным став­кам наращения имеет вид:

Формула дисконтирования по простым процентным став­кам следующая:

P = TVx(\ + ixn)-\ (2.1.23)

Величина /, которую мы ранее называли процентной став­кой, в процедуре дисконтирования может быть названа ставкой дисконтирования (нормой дисконта).

Множитель (1 + i) - п — это коэффициент (фактор) дис­контирования по сложной ставке (дисконтный множитель); (1 + i у. п) - I — это коэффициент (фактор) дисконтирования по про­стой ставке.

Величина каждого из коэффициентов дисконтирования меньше единицы:

(1 + 0"" < I К (1 + 1ХИ)"¹ <1.

Банковский учет (учет векселей)

Суть операции заключается в следующем. Банк или другое финансовое учреждение до наступления срока платежа (date of maturity) no векселю или иному платежному обязательству при­обретает его у владельца по цене, которая меньше суммы, ука­занной на векселе, т. е. покупает (учитывает) его с дисконтом. Получив при наступлении срока векселя деньги, банк реализует процентный доход в виде дисконта. В свою очередь владелец векселя с помощью его учета имеет возможность получить день­ги, хотя и не в полном объеме, однако ранее указанного в нем срока.

При учете векселя применяется банковский, или коммер­ческий, учет. Согласно этому методу проценты за пользование ссудой в виде дисконта начисляются на сумму, подлежащую уп­лате в конце срока (maturity date). При этом применяется учет­ная ставка &.

P = TV-TVxnxd = TVx{\-nxd), (2.1.24)

где и - срок от момента учета до даты погашения векселя.

Дисконтный множитель здесь равен (l-nxd). Из форму­лы (1.2.24) следует, что при n>\ld величина дисконтного мно­жителя и, следовательно, суммы Р станет отрицательной.

Основные понятия инвестшиюнного менеджмента

Учет инфляции при определении реального процента

Инфляцию необходимо учитывать, по крайней мере, в двух случаях: при расчете наращенной суммы денег и при изме-

рении реальной эффективности (доходности) финансовой опе­рации.

Остановимся на этих проблемах. Введем обозначения:

TV — наращенная сумма денег, измеренная по номиналу;

TVr ~ наращенная сумма с учетом ее обесценения;

J_p — индекс цен;

J_c — индекс, характеризующий изменение покупательной способности денег за период.

Очевидно,что:

TV_R=TV*J_C. (2.2.1)

Индекс покупательной способности денег, как известно, ра­вен обратной величине индекса цен — чем выше цены, тем ниже покупательная способность:

y_e=-L. (2.2.2)

Нетрудно связать индекс цен и темп инфляции. Под тем­пом инфляции h понимается относительный прирост цен за пери­од; обычно он измеряется в процентах и определяется как

й = 100х(У,-1). (2.2.3)

В свою очередь:

I

I

Например, если темп инфляции за период равен 30%, то это означает, что цены выросли в 1,3 раза.

Инфляция является цепным процессом. Следовательно, индекс цен за несколько периодов равен произведению цепных индексов цен:

где А, - темп инфляции в периоде t

Пусть теперь речь пойдет о будущем. Если Л - постоян­ный ожидаемый (или прогнозируемый) темп инфляции за один период, то за я таких периодов получим:

Вернемся к проблеме обесценения денег при их нараще­нии. Если наращение производится по простой ставке, то нара­щенная сумма с учетом покупательной способности равна:

ТУ _х

Как видим, увеличение наращенной суммы с учетом ее инфляционного обесценения имеет место только тогда, когда \ + nxi> J_p.

Обратимся теперь к наращению по сложным процентам. Наращенная сумма с учетом инфляционного обесценивания на­ходится как:

i +

Величины, на которые умножаются Р, представляют собой множители наращения, учитывающие ожидаемый уровень ин­фляции. Посмотрим теперь, как совместно влияют сложная ставка / и темп инфляции h на значение этого множителя. Оче­видно, что если среднегодовой темп инфляции равен процент­ной ставке, то роста реальной суммы не произойдет - нараще­ние будет поглощаться инфляцией, и, следовательно, TV_R = P. Если же Л/Ш0>г, то наблюдается «эрозия» капитала - его ре­альная сумма будет меньше первоначальной. Только в ситуации, когда A/100<i, происходит реальный рост, реальное накопле­ние. Очевидно, что при начислении простых процентов стаька, компенсирующая влияние инфляции, соответствует величине:

*145Э 49

<■'=-£-. (2.2.9)

Ставку, превышающую критическое значение г (при на­числении сложных процентов ₍ =1,), называют положительной ставкой процента.

Владельцы денег, разумеется, не могут смириться с их ин­фляционным обесценением и предпринимают различные по­пытки компенсации потерь. Наиболее распространенной являет­ся корректировка ставки процента, по которой производится наращение, т. е. увеличение ставки на величину так называемой инфляционной премии. Итоговую величину можно назвать брутто-ставкой.

Определим брутто-ставку (обозначим ее как г) при усло­вии полной компенсации инфляции. При наращении по слож­ной рентной ставке находим брутто-ставку из равенства:

1 + _г = (1 +,-)х(1 + А). (2.2.10)

Откуда:

_{г =},чА+;А. (2.2.11) \

На практике скорректированную по темпу инфляции ставку рассчитывают проще, а именно:

/• = / + —. (2.2.12)

Дополнительным членом можно пренебречь при незначи­тельных величинах / и И. Если же они значительны, то ошибка (не в пользу владельца денег) станет весьма ощутимой,

При наращении по простым процентам имеем:

l + nxr^(\ + nxi)J. (2.2.13)

где J_p — индекс цен за учитываемый период. 50

I

Очевидно, что при больших темпах инфляции корректи­ровка ставки имеет смысл только для кратко- или в крайнем случае среднесрочных операций.

Перейдем теперь к измерению реальной доходности фи­нансовой операции, т. е. доходности с учетом инфляции. Если г объявленная норма доходности (или брутто-ставка), то реальный показатель доходности в виде годовой процентной ставки / мож­но определить при наращении сложных процентов:

Если брутго-стзвка определяется по упрощенной формуле, то:

, = г-—. (2.2.15)

Аналогичный по содержанию показатель, но при начислении простых процентов, находим как:

(2.2.16)

Как видим, реальная доходность здесь зависит от срока операции. Положительной простая ставка i может быть только при условии, что l + nxr>J_p.

Компенсации инфляции можно достичь и путем индекса­ции исходной суммы задолженности. В этом случае:

TV_R=TVxJ_px(Uiy. (2.2.17)

Временная база начисления процентов

Применение той или иной формулы начисления процен­тов предполагает учет в ней длительности временного периода, характеризующего продолжительность финансовой операции. Поскольку процентная ставка устанавливается для годового на­числения процентов, временной период необходимо привести к годовому измерению. В этом случае формула трансформируется следующим образом:

4- U52 51

где г - длительность финансовой операции;

К — временная база (принимаемая в расчет продолжитель­ность года).

Величина процента в рассматриваемом варианте может быть рассчитана по формуле:

■Px/xt (2.2.19)

К

При расчете процентов применяют две временные базы: К = 360 дней (12 месяцев по 30 дней) или К = 365, 366 дней. Ес­ли К = 360 дней, то получают обыкновенные, или коммерческие, проценты (ordinary interest), а при использовании действитель­ной продолжительности года (365, 366 дней) рассчитывают точ­ные проценты (exact interest).

Количество дней ссуды также можно измерять прибли­женно и точно. В первом случае продолжительность ссуды опре­деляется из условия, согласно которому любой месяц принима­ется равным 30 дням. В свою очередь, точное число дней ссуды определяется путем подсчета числа дней между датой выдачи ссуды и датой ее погашения.

Итак, возможны и применяются на практике три варианта расчета процентов.

1. Обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды.
Продолжительность года условно принимается равной

360 дням (обыкновенные проценты), длительность месяца -30 дням (приблизительная длительность финансовой операции). Такой метод применяется тогда, когда не требуется большой точности, например, при промежуточных расчетах.

2. Обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды.
Продолжительность года принимается равной, как и в

предыдущем случае, 360 дням, но учитывается точное число дней операции, например ссуды. Этот метод, иногда называе­мый банковским (Banker's rule), распространен в межстрановых ссудных операциях коммерческих банков, во внутристрановых -во Франции, Бельгии, Швейцарии. Он обозначается 365/360 или АСТ/360.

3. Точные проценты с точным числом дней ссуды.
Продолжительность года равна 365 или 366 дням (точные

проценты), учитывается точное количество дней ссуды. Этот ва­риант дает самые точные результаты. Данный способ применя-52

ется центральными банками многих стран и крупными банками, например, в Великобритании, США. В коммерческих банках он обозначается как 365/365 или ACT/ACT.

Методы расчета параметров конверсии

Конверсионные операции (конверсия платежей) - это замена одних финансовых обязательств другими. Основным принципом конверсии платежей является принцип финансовой эквивалент­ности. Он заключается в неизменности финансовых взаимоот­ношений сторон в случае замены фина1!есзых обязательств. Эк­вивалентными считаются такие платежи, которые, будучи «при­веденными» к одному моменту времени (focal date), оказываются равными. Приведение осуществляется путем дисконтирования (приведение к более ранней дате) или, наоборот, наращения суммы платежа (если эта дата относится к будущему). Иными словами, при замене обязательств и соблюдении при этом прин­ципа финансовой эквивалентности ни один из участников сдел­ки не должен получить дополнительной выгоды (или потерпеть ушерб).

Конверсия платежей производится в случаях изменения сроков платежей, объединения платежей, замены первоначаль­ной серии платежей на другую серию по суммам и срокам и т. д. При проведении расчетов конверсии возможны различные вари­анты, например, определение:

•суммы заменяющего платежа при известном сроке тамены;

•срока заменяющего платежа при известной его сумме;

•того, являются ли платежи эквивалентными при извест­
ных суммах и сроках;

• критического уровня процентной ставки.
Определение суммы заменяющего платежа. Предположим,

что в будущем необходимо осуществить ряд платежей. Размеры этих платежей будем обозначать через FV (future value — будущая стоимость).

Определение суммы заменяюшего платежа (FVj) осуществ­ляется при известных сумме первоначального (заменяемого) платежа (FV\), сроках заменяемого и заменяющего платежей (п\ и п₇) и заданной (используемой в расчетах) величине процент­ной ставки (/*).

Расчет величины FV₂ возможен при соблюдении равенства современных стоимостей заменяемой и заменяющей сумм, что необходимо для соблюдения принципа финансовой эквивалент­ности.

Современная стоимость (обозначим ее через PV — present value) будущего платежа (будущей стоимости) соответствует де­нежной сумме, которую в настоящее время следует вложить в сферу финансовых операций, с тем чтобы через период времени и получить при средней доходности вложения в размере i вели­чину будущего платежа FV.

Современная стоимость платежа FV\ (обозначим ее через

Аналогичный показатель для платежа

Приравняв величины PV\ и PV^, получим уравнение эквива­лентности (уравнение стоимости для простой процентной ставки):

откуда: '

FV₂ = FV_X (1 +1 x «,)"' (l +1 x n₂). (2.2.20)

Предположим, что платеж 200 млн. руб. со сроком уплаты через два месяца заменяется платежом со сроком уплаты через четыре месяца. Определим сумму второго платежа при исполь­зовании простой ставки 40% годовых:

Fr₂=200x(l + 0,4x2/12)"'x(l + 0,4x4/12) = 215,6 млн. руб.

Если использовать метод сложных процентов, то формула (2.2.20) для нахождения размера заменяющего платежа (условие эквивалентности) будет иметь вид:

FV_}x(\ + i)'"' =FV₁x(l + iy>, откуда:

FV₂ =РУ,х{\ + гУ"'х(\ + гУ^!. (2.2.21)

Можно отметить, что для построения уравнения эквива­лентности в общем виде необходимо все элементы заменяемого

и заменяющего денежных потоков привести к единой временной точке проведения (focal date). Причем платежи, находящиеся на временной оси раньше точки приведения, необходимо наращи­вать, а те из них, которые должны осуществляться позже даты приведения, - дисконтировать за соответствующий период.

Определение срока заменяющего платежа. Если необходимо определить срок заменяющего платежа, когда известна его вели­чина, то берем в качестве исходных рассмотренные выше усло­вия эквивалентности. Следовательно, имеем:

~ для простой процентной ставки;

(2.2.23)

- для сложной процентной ставки.

Например, платеж 40 млн. руб. с уплатой через три месяца заменяется на платеж 50 млн. руб. Определим срок второго пла­тежа, если в расчетах используется простая ставка 40% годовых:

- = 0,94 года, или 11,25 месяца