Тема 8 ВАЛЫ И ОСИ

Пример расчета 15.1. Выполнить проектный расчет вала и его опор (см. рис. 15.1): Т =645 Н·м, n =200 мин^-1, ширина шестерни —100 мм, диаметр шестерни d₁ =200 мм (z =40, m =5), β =8; на выходном конце вала установлена упругая пальцевая муфта; материал вала—сталь 45, улучшенная, σ _в=750 МПа, σ _т=450 МПа. Срок службы длительный, нагрузка близка к постоянной, допускается двухкратная кратковременная перегрузка.

Решение. 1. По формуле (15.1) приближенно оцениваем средний диаметр вала при [ τ ]=12 МПа:

=64 мм

2. Разрабатываем конструкцию вала и по чертежу оцениваем его размеры: диаметр в месте посадки шестерни d_ш=65 мм; диаметр в месте посадки подшипников d_п=d_ш—5=60 мм; диаметр в месте посадки муфты d_м=d_п—5=55 мм; l =160 мм; a = b =80 мм; с =170 мм; D =140 мм.

3. Определяем допускаемую радиальную нагрузку на выходном конце вала, полагая, что редуктор может быть использован как редуктор общего назначения (с.298): 6350 Н.

4. Определяем силы в зацеплении [см. формулы (8.26)]:

F_t=2T/d₁ =2·645·10³/200=6450 H;

F_a=F_ttgβ =6450·0,1450=900 Н;

F_r=F_ttgα/cosβ =6450·0,364/0,9903=2400 Н.

5. Определяем реакции в опорах и строим эпюры изгибающих и крутящих моментов (см. рис.15.3). Рассмотрим реакции от сил F_r и F_a, действующих в вертикальной плоскости. Сумма проекций F_r=A₁+B₁; F_a=H₁. Сумма моментов B₁l = F_rl /2- F_ad₁ /2. При этом B₁=F_r/2-F_ad₁ /(2 l)=1200-450·200/160=600 Н; A₁ = F_r-B₁ =l800 Н.

Реакция от сил F_t и F_M, действующих в горизонтальной плоскости (F_M прикладываем так, чтобы она увеличивала прогиб от F_t —худший случай),

A₂+B₂ = F_t-F_M; B₂l =F_t l /2- F_M (c+l);

B₂=F_t/2-F_M(c / l +l)=3225-6350(170/160+l)=-9867 H;

A₂=F_t-F_M-B₂ =9967 H.

6. По формулам (15.3) определяем запасы сопротивления усталости в опасных сечениях.

Просчитываем два предполагаемых опасных сечения (см. рис.15.3 ,а): сечение I-I под шестерней, ослабленное шпоночным пазом, и сечение II-II рядом с подшипником, ослабленное галтелью. Для первого сечения изгибающий момент

Н·мм.

Крутящий момент T=645·10³ Н·мм.

Напряжение изгиба σ _и= М/W _и=810·10³/(0,1-65³)=29,5 МПа.

Напряжение кручения τ= T/W_р =645·10³/(0,2·65³)=12 МПа.

По формулам (15.7),

σ_-1 =0,4 σ _в=0,4·750=300 МПа;

τ_-1 =0, 2σ_в =0,2·750=150 МПа;

τ_B =0,6·650=390 МПа.

По табл. 15.1, для шпоночного паза К_а ≈1,7, K_τ ≈1,4.

По графику (см. рис.15.5, кривая 2), K_d =0,72.

По графику (см. рис.15.6), для шлифованного вала К_F =1.

По формулам (15.4) с учетом (15.5), принимая по формуле (15.6) ψ_σ=0,1,

ψ_τ=0,05, находим:

s_σ=300·0,72/(1,7·29,5)=4,3;

s_τ=150/(1,4·6/0,72+0,05·6)≈12,7.

По формуле (15.3),

s=4,3·12,7 =4>[s]=1,5.

Для второго сечения изгибающий момент М ≈ F_M c=6350·170=1080·10³ Н·мм; крутящий момент T =645·10³ Н·мм;

σ_и=1080·10³/(0,1·55³)=65 МПа;

τ=645·10³/(0,2·55³)=19,5 МПа.

Принимаем r галтели равным 2 мм; r/d ≈0,04 и находим К _σ=2; К_τ=1,6 (см. табл.15.1):

Больше напряжено второе сечение.

7. Проверяем статическую прочность при перегрузках — формула (15.8).

При перегрузках напряжения удваиваются и для второго сечения σ _и=130 МПа и τ =39 МПа; [σ]=0,8σ_т=0,8·450=360 МПа; σ_ЭК= =136<[σ]=360МПа.

8.Проверяем жесткость вала. По условиям работы зубчатого зацепления опасным является прогиб вала под шестерней. Для определения прогиба используем табл. 15.2. Средний диаметр на участке l (см.рис.15.1) принимаем равным d_ш=65 мм. Здесь

J = /64=88·10⁴ мм⁴.

Прогиб в вертикальной плоскости: от силы F _r

y _B= F_ra²b² /(3 FJl)=2400·804/(·2,1·10⁵·88·10⁴·160)=0,001 мм;

от момента М_а прогиб равен нулю.

Прогиб в горизонтальной плоскости от сил F _t и F _M:

y _r = F_ta²b² / 3EJl)+ F _M ca (l ²- a ²)/(6FJl) = 6450·80⁴/(3·2,1·10⁵·88·10⁴·160)+6350×170·80(160²-80²)/(6·2,1·10⁵·88·10⁴·160) = 3·10^-3+9,3·10^-3 = 0,0123 мм.

Суммарный прогиб

0,0124 мм.

Допускаемый прогиб (см. §15.3) [ y ]≈0,01 т =0,01·5=0,05>0,0124 мм. Аналогично проверяют углы поворота в опорах (обучающимся рекомендуется самим выполнить эту проверку).

Таким образом, условия прочности и жесткости выполняются. По этим условиям диаметр вала можно сохранить. Однако этот вопрос нельзя окончательно решить без расчета подшипников (см. пример 16.2).

Пример расчета 16.1. Рассчитать ось канатного направляющего блока (рис.16.1,а) при условии, что нагрузка, воспринимаемая блоком от каната, =100кН и блок установлен на оси на двух радиальных шарикоподшипниках.

Решение. Материал оси - сталь Ст5. Так, как ось направляющего блока неподвижная и находится под действием постоянной нагрузки, рассчитаем ее на статическую прочность при изгибе. Рассчитываемую ось блока можно рассматривать как свободно лежащую двухопорную балку (рис.16.1,б) с двумя сосредоточенными силами со стороны подшипников.

Эпюра изгибающих моментов оси представляет собой равнобочную трапецию рис.16.1,в). Максимальный изгибающий момент

Н∙м.

Примем допускаемое напряжение на изгиб неподвижной оси, т.е. [ ]=100МПа=100∙10⁶ Па по сравнению с [ ]данным в таблицах, повышенным на 75%.

Требуемый диаметр оси

м=90мм.

Пример расчета. 16.2. Рассчитать промежуточный вал коническо-цилиндрического зубчатого редуктора при следующих данных (рис.16.2,а): мощность, передаваемая валом, Р=4,3кВт; угловая скорость вала =33рад/с (п =316мин^-1); на валу установлены коническое прямозубое колесо первой ступени передач со средним диаметром делительного конус = -16=мм и цилиндрическая прямозубая шестерня второй ступени передачи с делительным диаметром =80мм.

Расстояние между подшипниками вала =185мм; цилиндрическая шестерня расположена от середины ближайшего подшипника на расстоянии а =65мм; коническое колесо находится от середины ближайшего подшипника на расстоянии =70мм; угол профиля зубьев для обеих ступеней передачи редуктора =20°; угол наклона образующей делительного конуса конического колеса относительно осевой линии =71°34′; режим работы вала постоянный; оба зубчатых колеса насажены на вал с напряженной посадкой.

Решение. Материал вала — сталь 45. Для этой стали по ГОСТ 1050—74 принимаем: предел прочности при растяжении МПа, предел текучести =360 МПа. Сначала рассчитаем вал на статическую прочность, на совместное действие изгиба и кручения. Растяжение или сжатие вала осевой силой, действующей на коническое колесо, не учитываем.

Крутящий момент, передаваемый валом

Т=Р/ =4,3∙10/33=130Н∙м.

Силы в зубчатых передачах (рис.16.2,б): окружная сила конического колеса

Н;

радиальная и осевая силы, действующие на коническое колесо:

Н;

Н;

окружная сила цилиндрической шестерни

Н;

радиальная сила, действующая на цилиндрическую шестерню

Н.

Реакции опор (подшипников) вала:

от сил и

Н,

;

от сил и

Н,

от силы

Эти реакции расположены в той же плоскости, что и реакции и

Изгибающие моменты в сечениях I (посередине ширины цилиндрической шестерни) и II (посередине длины ступицы конического колеса): от сил и в сечении I

м;

в сечении II

Н∙м;

от сил и в сечении I

Н∙м;

в сечении II

Н∙м;

от силы в сечении I

Н∙м;

от силы в сечении II

Н∙м;

от силы в сечении II

Н∙м.

Эпюры изгибающих моментов показаны на рис.16.2, в. От сил и вал изгибается в одной плоскости, а от сил , и —в плоскости, перпендикулярной первой. Полный изгибающий момент: в сечении 1

Н∙м;

в сечении II

=155 Н.м.

Максимальный изгибающий момент

=185 Н.м.

Рассчитаем вал по третьей теории прочности. Эквивалентный (приведенный) момент

Н.м.

Допускаемое напряжение на изгиб вала по табл. 16.1 [ ]=85 МПа. Диаметр вала в опасном сечении

мм.

В сечении II пусть диаметр вала =30 мм. Диаметр вала в других сечениях примем конструктивно. Рассчитаем вал на сопротивление усталости. Расчет выполним для сечения .

Таблица 16.1. Допускаемые напряжения на изгиб для валов и вращающихся осей

Источник концентрации напряжения	Диаметр вала, мм	Стали, термообработка, механические характеристики, МПа
35, Ст 5, σв≥500, σ-1≥220	45, Ст 6, σв≥600, σ1≥260	45, закалка, σв≥850, σ-1≥340	40Х, закалка, σв≥1000, σ1≥400
Деталь посаженная с небольшим натягом
Напрессованная деталь (без усиления вала)
Галтель

Предел выносливости при симметричном цикле напряжений

МПа.

Предел выносливости при симметричном цикле кручения

МПа.

Эффективные коэффициенты концентрации напряжений с учетом формы сечения вала (шпоночная канавка) из табл. 16.2; при изгибе =1,7 при кручении =1,4. для посадочных поверхностей вала под зубчатыми колесами назначаем обточку с шероховатостью поверхности 10. Соответственно эффективные коэффициенты концентрации напряжений от состояния Поверхности вала 1,08. Общие эффективные коэффициенты концентрации напряжений

Значения коэффициента при изгибе =0,88; при кручении =0,77. Так как для вала упрочнение не предусмотрено, то коэффициент упрочнения , не учитывают.

Таблица 16.2. Значения коэффициентов и

Фактор концентрации
≤700	≥1000	≤700	≥1000
Галтель (рис.16.5,б) при r/d =0,02	2,5	3,5	1,8	2,1
r/d =0,06	1,85	2,0	1,4	1,53
(D/d =1,25…2)0,10	1,6	1,64	1,25	1,35
Выточка (рис.16.5,в) при t=r и r/d =0,02	1,9	2,35	1,4	1,7
r/d =0,06	1,8	2,0	1,35	1,65
r/d =0,10	1,7	1,85	1,25	1,5
Поперечное отверстие (рис.16.5, г) при d0/d =0,05…0,25	1,9	2,0	1,75	2,0
Шпоночная канавка	1,7	1,4	1,7
Шлицы при расчете по внутреннему диаметру kσ=kτ =1
Посадка с напрессовкой при р ≥20 МПа	2,4	3,6	1,8	2,5
Резьба	1,8	2,4	1,2	1,5

Коэффициент влияния асимметрии цикла напряжений на прочность вала при изгибе и

Ширина и высота шпоночной канавки в соответствии с СТ СЭВ 189—75 =10мм и =5мм. Момент сопротивления сечения вала при изгибе в сечении I по формуле

_нетто= =3,14∙30³/32—10,5 (30-5)²/(2∙30) =2260 мм³.

Момент сопротивления сечения вала при кручении в сечении I

_{к. нетто}= мм³.

Расчетное напряжение изгиба в сечении I вала

_нетто=185∙10³/2260=82МПа.

Так как напряжения изгиба изменяются по симметричному циклу, то среднее напряжение цикла , а амплитуда цикла при изгибе

МПа.

Расчетное напряжение на кручение в сечении I вала

_нетто=130∙10³/4910=26МПа.

Так как напряжения кручения изменяются по отнулевому циклу, то амплитуда цикла при кручении и среднее напряжение цикла при кручении

МПа.

Коэффициент запаса прочности вала в сечении I по изгибу

=1,4.

Коэффициент запаса прочности вала в сечении I по кручению

=6.

Коэффициент запаса прочности

Следовательно, вычисленный диаметр вала =30 мм расчетом вала на статическую прочность обеспечивает также его сопротивление усталости.