Вынужденные колебания. Резонанс

Чтобы в реальной системе колебания не затухали, необходимо компенсировать потери энергии путем периодического воздействия внешней вынуждающей силой, которая также изменяется по гармоническому закону

(4.36)

С учетом этой силы, например, для пружинного маятника уравнение движения (4.33) примет вид

(4.37)

Или после преобразования (4.37) получим

(4.38)

Общее решение неоднородного уравнения (4.38) равно сумме общего решения однородного уравнения, которое получено выше (4.30), и частного решения, которое имеет вид:

(4.39)

Решение (4.38) показывает, что если на колеблющееся тело действует периодическая сила, изменяющаяся с частотой W, то тело совершает колебания с той же частотой, причем амплитуда и начальная фаза будут зависеть от амплитуды и частоты внешней силы, коэффициента затухания, упругих свойств системы и массы. Поэтому слагаемое, отражающее общее решение однородного дифференциального уравнения (4.30), будет играть существенную роль только в начальной стадии процесса, пока амплитуда не достигнет значения

4.40)

где

Фаза вынужденных колебаний определяется как

(4.41)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынужденной силы к собственной частоте колебаний называется резонансом.

	Если продифференцировать подкоренное выражение в (4.40), можно найти значение резонансной частоты (4.42) Когда подкоренное выражение минимально, то амплитуда, принимает максимальное значение.
Рис. 4.8

На рис. 4.8 показана зависимость амплитуды вынужденных колебаний в зависимости от W при данной ω₀ , и разных коэффициентах затухания.

Чем меньше коэффициент затухания, тем резче изменяется амплитуда вынужденных колебаний:

(4.43)

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различного рода сооружений необходимо, чтобы собственная частота колебаний не совпадала с частотой внешних воздействий, в противном случае, возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения. С другой стороны, явление резонанса позволяет обнаружить очень слабые колебания, что широко применяется в радиотехнике, прикладной акустике.