Глава 4. Механические колебания

Колебания – это движения, которые характеризуются определенной повторяемостью во времени. Колебания называются свободными или собственными, если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии под влиянием только внутренних сил. Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса (или косинуса).

4. 1. Гармонические колебания. Амплитуда. Фаза.

Скорость и ускорение. Квазиупругая сила

Гармоническое колебание изображают графически методом вращающегося вектора амплитуды (рис. 4.1).

	Если из произвольной точки О на оси х под углом , равным начальной фазе колебаний, отложить вектор, модуль которого равен А, и привести его во вращение с угловой скоростью , то проекция вектора А на ось х
Рис. 4.1

будет изменяться по закону

(4.1)

где А – амплитуда колебаний; – циклическая частота; – фаза колебаний; – начальная фаза.

Гармонические колебания характеризуют следующие величины:

– период колебаний, время одного полного колебания;

– частота колебаний определяет число колебаний, которое совершает система в единицу времени;

– циклическая частота.

Запишем дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Для этого найдем первую и вторую производные от (4.1), которые определяют скорость и ускорение при колебательном движении

(4.2)

(4.3)

Амплитудные значения скорости и ускорения соответственно равны и . Фаза скорости отличается от фазы смещения на p/2 (рис. 4.2).

	Уравнение (4.3) можно представить в виде или (4.4) Выражение (4.4) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Оно связывает колеблющуюся величину X(t) с её второй производной. Решением этого уравнения (4.4) является выражение (4.1).
Рис. 4.2

Колебательное движение есть движение с ускорением, поэтому на колеблющееся тело должна действовать сила, сообщающая ему ускорение. Гармонические колебания происходят под действием упругой или квазиупругой силы, которая выражается как: . По второму закону Ньютона можно записать

(4.5)

где – коэффициент пропорциональности.