Сложение гармонических колебаний

Сложение колебаний одного направления.

Сложим колебания одного направления и одинаковой частоты (рис. 4.4).

. (4.19)

Так как векторы и вращаются с одинаковой частотой ω₀, то разность фаз двух колебаний будет оставаться постоянной, т.е. j₂ – j₁ = const. Уравнение результирующего колебания будет иметь вид

(4.20)

где А – амплитуда результирующего колебания, равная:

(4.21)

	а j – фаза результирующего колебания, определяемая как (4.22) Результирующее колебание тоже гармоническое, происходит с той же частотой, его амплитуда зависит от разности фаз
Рис. 4.4

В зависимости от разности фаз имеем

1)

2)

Биение. Для практики особый интерес представляет случай, когда складываются два колебания одного направления, которые мало отличаются по частоте. В результате сложения получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой, которые называются биениями.

Рассмотрим два колебания с равными амплитудами и начальной фазой, равной 0

(4.23)

(4.24)

Так как различие частот двух колебаний незначительно , то получим

(4.25)

а выражение, стоящее в скобках, практически не изменится, пока сомножитель совершит несколько полных колебаний.

Поэтому результирующее колебание X можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой и переменной амплитудой (рис.4.5).

	Период биений определяется как
Рис. 4.5.

(4.26)

Метод биений часто используется для сравнения измеряемой частоты с эталонной при настройке музыкальных инструментов.

Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим сложение колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей x и y.

Начальная фаза первого колебания а начальная фаза второго колебания

. (4.27)

Уравнение траектории результирующего колебания имеет вид

(4.28)

Это уравнение эллипса, оси которого произвольно ориентированы относительно координатных осей (x, y). Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называют эллиптически поляризованными.

Рассмотрим несколько частных случаев.

1) Частоты одинаковы, начальные фазы отличаются на m π, т. е. , где (m = 0, ±1, ±2...). В этом случае эллипс превращается в прямую, , где знак (+) соответствует нулю и чётным значениям m (рис. 4.6а), знак (–) – нечётным m (рис. 4.6б).

Рис.4. а	Рис.4.б

Результирующее колебание является гармоническим с частотой и амплитудой, равной , и происходит вдоль прямой составляющей угол φ с осью X.

2) Частоты колебаний одинаковы. Фазы отличаются на число, кратное p /2.

где (m = 0, ± 1, ± 2...

Результирующее колебание в этом случае происходит по эллипсу

а при равенстве амплитуд – по кругу.

3) Если частоты складываемых взаимоперпендикулярных колебаний различны, то траектория результирующего колебания довольно сложна. Эти траектории называются фигурами Лиссажу. В зависимости от соотношения частот и разности фаз меняется форма кривых Лиссажу.

В измерительной технике фигуры Лиссажу широко используются для измерения соотношений частот и разности фаз складывающихся колебаний.