Простейшие механические колебательные системы

(пружинный, физический и математический маятники)

Колеблющаяся система, описываемая уравнением

(4.9)

называется гармоническим осциллятором.

Гармонический осциллятор служит точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики.

Примерами гармонического осциллятора в механике служат пружинный, физический и математический маятники.

Пружинный маятник. Груз массой m, прикрепленный к абсолютно упругой пружине с коэффициентом жесткости (упругости) к, совершает колебания под действием квазиупругой силы

Уравнение движения имеет вид

или

(4.10)

Решением уравнения является выражение

(4.11)

где – собственная частота колебаний маятника; – период колебаний пружинного маятника.

Физический маятник, показанный на рис. 4.3, представляет собой твердое тело, совершающее под действием силы тяжести малые колебания вокруг горизонтальной неподвижной оси (точка О), не проходящей через центр массы тела (точка С).

	Если маятник отклонен из положения равновесия на угол a, то в соответствии с основным законом динамики вращательного движения момент возвращающей силы можно записать в виде
Рис. 4.3

(4.12)

так как для малых углов

где l – расстояние между точкой подвеса О и центром масс маятника; – момент инерции относительно оси, проходящей через точку О; ()– момент возвращающей силы, т. е. произведение силы тяжести на плечо.

Перепишем уравнение (4.12) в виде

или

(4.13)

Обозначив

получим

(4.14)

Решение уравнения (4.14) имеет вид

(4.15)

Таким образом, при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω₀ и периодом, равным

(4.16)

Математический маятник – идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, подвешенной на нерастяжимой и невесомой нити длиной l, и колеблющаяся под действием силы тяжести.

Момент инерции математического маятника определяется как

(4.17)

Математический маятник можно рассматривать как частный случай физического маятника, предположив, что вся масса физического маятника сосредоточена в центре масс.

Тогда, подставив в (4.16) выражение для момента инерции, получим период колебаний математического маятника в виде

(4.18)