Метод касательных (Ньютона)

" В отличие от метода хорд, в методе касательных вместо хорды на каждом шаге проводится касательная к кривой y=F(x) при x=x_n и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс:

Формула для (n+1) приближения имеет вид (10):

Если F(a)*F"(a)>0, x₀=a, в противном случае x₀=b.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет обнаружено, что:"[ 1 ]

.

Например, требуется уточнить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 методом касательных с точностью до 0,00001, используя:

1. Mathcad;

Excel.

Для решения такой задачи, используя Excel, необходимо выполнить следующие действия:

1. Изначально необходимо определиться с тем, чему равно x0: либо a, либо b. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

o Найти производную первого порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f1(x)=-2sin(2x)+1.

o Найти производную второго порядка от функции f(x)=cos(2x)+x-5. Она будет выглядеть следующим образом: f2(x)=-4cos(2x).

o Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке):

o В итоге получается следующее:

2. Так как x0=b, то необходимо выполнить следующие действия:

o Заполнить ячейки следующим образом (обратить внимание на названия и номера столбцов при заполнении - они должны быть такими же, как на рисунке):

o В ячейку A6 ввести формулу =D5.

o Выделить диапазон ячеек B5:E5 и методом протягивания заполнить диапазон ячеек B6:E6.

o Выделить диапазон ячеек A6:E5 и методом протягивания заполнить диапазон нижерасположенных ячеек до получения в одной из ячеек столбца E результата (диапазон ячеек A6:E9).

В итоге получаем следующее:

Ответ: Корень уравнения cos(2x)+x-5=0 равен 5,32976.