Теорема 1.1

1. " Если функция F(x), определяющая уравнение F(x)=0, на концах отрезка [a;b] принимает значения разных знаков, т.е. F(a)*F(b)<0 (3), то на этом отрезке содержится, по крайней мере, один корень уравнения"[ 4 ].

2. "Если функция F(x) строго монотонна, то корень на [a,b] единственный (F’(a)*F’(b)>0 (4)).

Для отделения корней аналитическим способом выбирается отрезок [A;B], на котором находятся все интересующие вычислителя корни уравнения. Причем на отрезке [A;B] функция F(x) определена, непрерывна и F(a)*F(b)<0. Требуется указать все частичные отрезки [a;b], содержащие по одному корню.

Будем вычислять значение функции F(x), начиная с точки x=A, двигаясь вправо с некоторым шагом h. Если F(x)*F(x+h)<0, то на отрезке [x;x+h] существует корень:"[ 1 ]

Если F(x_k)=0, x_k-точный корень. (5)

На практике данный способ реализуется следующим образом: например дана такая задача: на основании найденного отрезка изоляции (см. графический способ отделения корней):

1. доказать существование и единственность корня на полученном отрезке с помощью:

1. Mathcad;

Excel.

2. отделить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 аналитическим способом с шагом 1 на отрезке [-10;10], используя:

1. Mathcad;

Excel.

Рассмотрим полученный отрезок изоляции [5;6].

Для доказательства существования корня на отрезке изоляции необходимо выполнить следующие действия:

1. Запустить MS Excel.

2. Ввести в ячейки А1, В1 и С1 соответственно «x», «y=cos(2x)+x-5» и «ответ».

3. В А2 и А3 ввести граничные значения отрезка изоляции.

4. В В2 ввести формулу =COS(2*A2)+A2-5 и методом протягивания заполнить В3.

5. В С2 ввести формулу =ЕСЛИ(B2*B3<0;"корень существует";"корень не существует").

Таким образом, на отрезке изоляции корень существует:

Для доказательства единственности корня на отрезке изоляции необходимо выполнить следующие действия:

1. Продолжить работу в том же документе MS Excel.

2. Заполнить D1 и E1 соответственно: «y'=-sin(2x)*2+1» и «ответ» (причем выражение y'=-sin(2x)*2+1 – это производная первого порядка от функции y=cos(2x)+x-5).

3. Ввести в D2 формулу =-SIN(2*A2)*2+1 и методом протягивания заполнить D3.

4. Ввести в E2 =ЕСЛИ(D2*D3>0;"корень на данном отрезке единственный";"Корень не единственный").

В результате получаем: