Графический способ отделения корней

Графический способ отделения корней

Аналитический способ отделения корней

· Методы уточнения корней

Метод половинного деления

Метод хорд

Метод касательных (Ньютона)

Комбинированный метод хорд и касательных

· Методы решения систем уравнений

Метод Гаусса

Матричный метод

Метод Крамера

Метод итераций

· Численное интегрирование

Формула трапеций

Формула Симпсона (парабол)

Формулы прямоугольников

Метод Монте-Карло

· Метод наилучших приближений

Метод наименьших квадратов

· Интерполирование функций

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Графический способ отделения корней

Отделение корней во многих случая можно произвести графически, "учитывая что действительные корни уравнения F(x)=0 (1) - это есть точки пересечения графика функции y=F(x) с осью абсцисс y=0, нужно построить график функции y=F(x) на оси OX отметить отрезки, содержащие по одному корню. Но часто для упрощения построения графика функции y=F(x) исходное уравнение (1) заменяют равносильным ему уравнением f₁(x)=f₂(x) (2). Далее строятся графики функций y₁=f₁(x) и y₂=f₂(x), а затем по оси OX отмечаются отрезки, локализующие абсциссы точек пересечения двух графиков"[ 1 ].

На практике данный способ реализуется следующим образом: например, требуется отделить корни уравнения cos(2x)+x-5=0 графически на отрезке [-10;10], используя:

1. Mathcad;

Excel.

Способ

Построим график функции f(x)=cos(2x)+x-5 в декартовой системе координат. Для этого нужно:

1. Ввести в ячейку A1 текст х.

2. Ввести в ячейку B1 текст y=cos(2x)+x-5.

3. Ввести в ячейку А2 число -10, а в ячейку А3 число -9.

4. Выделить ячейки А2 и А3.

5. Навести указатель «мыши» на маркер заполнения в правом нижнем углу рамки, охватывающий выделенный диапазон. Нажать левую кнопку «мыши» и перетащить маркер так, чтобы рамка охватила диапазон ячеек А2:А22.

6. Ячейки автоматически заполняются цифрами:

7. Ввести в ячейку В2 формулу =COS(2*A2)+A2-5.

8. Методом протягивания заполнить диапазон ячеек В3:В22.

9. Вызвать "Мастер диаграмм" и выбрать диаграмму график (первый вид), нажать «далее».

10. Указать диапазон данных, для этого щелкнуть кнопку в поле «Диапазон» и выбрать диапазон данных В2:В22.

11. Выбрать вкладку ряд, указать имя ряда, щелкнув кнопку в поле «ряд» и выбрав В1.

12. В поле «подписи по оси Х», щелкнуть кнопку и выбрать диапазон А2:А22, нажать «далее».

13. Подписать названия осей x и y соответственно, нажать «далее».

14. Вывести диаграмму на том же листе, что и таблица, нажать кнопку «готово».

В итоге получаем следующее:

Анализируя полученное изображение графика, можно сказать, что уравнение cos(2x)+x-5=0 имеет один корень – это видно из пересечения графика функции y=cos(2x)+x-5 с осью OX. Можно выбрать отрезок, содержащий данный корень: [5;6] – отрезок изоляции.

Способ

Для подтверждения полученных данных, можно решить эту же задачу вторым способом, используя формулу (2). Для этого необходимо уравнение cos(2x)+x-5=0 преобразовать к виду: cos(2x)=5-x. Затем следует каждую часть уравнения рассмотреть как отдельную функцию. Т. е. y1=cos(2x) и y2=5-x. Для решения этой задачи в MS Excel необходимо выполнить следующие действия:

1. Вести в ячейки А1:C1 соответственно текст: «x», «y1=cos(2x)», «y2=5-x».

2. A2:A22 заполнить так же как при решении задачи первым способом.

3. В В2 ввести формулу =COS(2*A2).

4. Методом протягивания заполнить диапазон ячеек В3:В22.

5. В С2 ввести =5-A2.

6. Методом протягивания заполнить диапазон ячеек С3:С22.

7. С помощью Мастера диаграмм выбрать график (первый вид).

8. В данном случае диапазон данных следует указывать для построения двух графиков. Для этого нужно нажать кнопку в поле «Диапазон» и выделить ячейки В2:В22, затем нажать Ctrl (на клавиатуре) и выделить следующий диапазон C2:C22.

9. Перейти на вкладку ряд, где выбрать именем ряда 1 ячейку В1, а именем ряда 2 ячейку С2.

10. Подписать ось x, выбрав диапазон А2:А22.

11. Подписать соответственно оси x и y.

12. Поместить диаграмму на имеющемся листе.

В итоге получаем следующее:

Анализируя полученный результат, можно сказать, что точка пересечения двух графиков попадает на тот же самый отрезок изоляции [5;6], что и при решении задачи первым способом.