Обратно-симметричные и согласованные матрицы. Индекс согласованности

Рассмотрим теперь квадратную положительную матрицу порядка n

		a11	…	a1k	…	a1n
	…	…	…	…	…
A=	ai1		aik	…	ain
	…	…	…	…	…
	an1	…	ank	…	ann

Матрица А называется обратно-симметричной, если для любых i и kвыполняется соотношение

a _ki = 1 / a _ik.

Из этого, в частности, следует, что

a _ii = 1.

Матрица А называется согласованной, если для любых i, kи l выполнено равенство

a _ik a _kl = a_il.

Сравнивая свойства идеальной матрицы сравнения с приведенными определениями, приходим к выводу, что идеальная матрица сравнений — обратно-симметричная и согласованная.

Справедливо следующее утверждение.

Теорема. Положительная обратно-симметричная матрица является согласованной тогда и только тогда, когда порядок матрицы и ее наибольшее собственное значение совпадают: λ _max = n.

Индекс согласованности. Если элементы положительной обратно-симметричной согласованной матрицы А изменить незначительно («пошевелить»), то максимальное собственное значение λ_mах также изменится незначительно. Пусть А − произвольная положительная обратно-симметричная матрица и λ_mах − ее наибольшее собственное значение.

Если

λ_mах = n,

то матрица А — согласованная.

Если

λ_mах n

(всегда λ_mах n), то в качестве степени отклонения положительной обратно-симметричной матрицы А от согласованной можно взять отношение

которое называется индексом согласованности (ИС) матрицы А и является показателем близости этой матрицы к согласованной.

Замечание. Считается, что если ИС не превышает 0,10, то можно быть удовлетворенным степенью согласованности суждений.