Приоритеты. Измерения и согла­сованность. Идеаль­ные измерения

Измерения и согласованность. Предположим, что имеется некоторое семейство предметов (напри­мер, камней) S₁, …, S_n, каждый из которых легок настолько, что его нетрудно удержать в руке, и требуется оценить их относительные веса в отсутствие взве­шивающего прибора. Считается, что существует два вида сравнений: абсолютные и относительные.

Первый состоит в том, чтобы определить (угадать) вес каждого предмета, взяв за единицу измерения (эталон) самый маленький, а значит и самый легкий. Это потребует (n – 1) сравнений.

Второй способ состоит в сравнении весов всевозможных пар пред­метов: сначала мы сравниваем вес предмета S₁с весами предметов S₂, …, S_n,затем вес предмета S₂ с весами предметов S₃, …, S_n и т. д. до тех пор, пока у нас не сформируется суждение об относительном весе (отношении весов) для каждой пары предметов.

В этом случае общее число необходимых сравнений оказывается равным n (n 1) / 2.

Согласованность измерений является весьма важной их характе­ристикой. Согласованность подразумеваетпри сравнении предметов по весу не просто результат типа: если A тяжелее В, и В тяжелее С, то А тяжелее С, а точный количественно результат: если A − в 1,5 раза тяжелее В, а В − в 2 раза тяжелее С, то А − в 1,5 2 = 3 раза тяжелее С.

Идеальные измерения. Предположим идеальную ситуацию, предположив, что мы знаем идеально точные веса камешков. Обозначим эти веса как

w₁,…,w_n

соответственно. Отношение

a_ik = w_i / w_k, i,k = 1,…,n (6.1)

показывает, во сколько раз вес i–го камешка S_i больше веса k-го камешка S_k.

Запишем соотношения (6.1) в виде квадратной матрицы n × n и назовем эту матрицу идеальной матрицей сравнений.

		w1/ w1	w1 / w2	…	w1/ wn
А=	w2/ w1	w2 / w2	…	w2 / wn
	…	…	…	…
	wn/ w1	wn / w2		wn / wn

Проанализируем некоторые свойства этой матрицы.

1. Для любого i справедливо равенство а_ii = 1 (элемент матрицы А, расположенный на пересечении i-й строки и i-гo столбца, равен единице).

2. Для любых i и k справедливо равенство a _ki = 1 / a _ik (произведение элемента матрицы А, расположенного на пересечении i-й строки и k-го столбца, на элемент матрицы А, расположенный на пересечении k-й строки и i-го столбца, равно единице).

3. Для любых i, k и m справедливо равенство a_ik a_km = a_im (про­изведение элемента матрицы А. расположенного в i-й строке и k-м столбце, на элемент матрицы А, расположенный в k-й строке и m-м столбце, равно элементу матрицы А, расположенному в i-й строке и m-м столбце).

4. Столбец

		w1
W=	…
	wn

является собственным столбцом матрицы А с собственным значением λ = n.