Оцінювання фінансових інструментів інвестування

Відомі два принципово різних підходи до оцінювання цінних паперів залежно від їх видів. Перший підхід призначений для оцінки первинних цінних паперів – акцій та облігацій, які мають прямий зв’язок з грошовими потоками корпорації, тому ключовим елементом методики оцінки є модель дисконтування грошового потоку (DCF-модель). Другий метод використовується для оцінки похідних цінних паперів, таких як опціони, які мають непрямий зв’язок з грошовими потоками корпорації. Свою назву похідні цінні папери, або деривативи, дістали за тієї обставини, що ці папери цінні не самі по собі, а лише завдяки первинним фінансовим активам. Оцінювання деривативів здійснюється за допомогою моделей ціноутворення опціонів.

Оцінювання первинних цінних паперів, яке ґрунтується на прогнозуванні грошового потоку, виконується за наступною схемою:

1) Оцінюється грошовий потік, що передбачає оцінку величини грошових надходжень і відповідного ризику в розрізі періодів.

2) Необхідна прибутковість грошового потоку встановлюється з розрахунку ризику, пов’язаного з ним, та прибутковості, яку можна досягти при інших альтернативних вкладеннях.

3) Грошовий потік дисконтується за очікуваною прибутковістю.

4) Дисконтовані величини складаються для визначення вартості активу.

Важливими факторами, які впливають на поточну вартість цінного паперу, є ринкова відсоткова ставка і ступінь ризику.

Ринкова відсоткова ставка – це ставка, заснована на сумах, що виплачуються на інвестиційному ринку цінними паперами (облігаціями, акціями, векселями, ощадними сертифікатами) зі схожими параметрами запозичення і ризику.

Математичний інструментарій оцінювання облігацій

Відповідно до умов випуску облігації бувають купонні і безкупонні (дисконтні). Розглянемо в класичному варіанті задачу оцінки купонних облігацій. Згідно з умовами інвестування в ці боргові фінансові інструменти корпорація-емітент облігацій зобов’язується здійснювати періодичний відсотковий платіж на річній або піврічній основі та погасити номінальну вартість облігації до визначеного терміну закінчення їх дії. Купонна облігація має наступні характеристики:

номінальну вартість M,

термін до погашення N,

відсоткову ставку in,

умови виплати відсотків (періодичність виплат) m.

Математична модель оцінювання грошової вартості облігації ґрунтується на дисконтуванні грошових потоків, які виплачуються протягом усього терміну до погашення. Вартість облігації в теперішній момент часу дорівнює дисконтованій сумі всіх з нею пов’язаних грошових потоків

N INT M

Vв = ∑ ──── + ────.

k=1 (1 + iв)^k (1 + iв) ^N

Якщо купон виплачується декілька разів на рік (m), то формула для розрахунку вартості облігації зміниться

mхN INT/m M

Vв = ∑ ────── + ───────.

k=1 (1 + iв/m)^k (1 + iв/m) ^{mх N}

Приклад. Випущена купонна облігація з фіксованою відсотковою ставкою терміном на 5 років та номіналом $ 1000. Відсоткові виплати здійснюються 2 рази на рік в розмірі $ 120. Ринкова відсоткова ставка по аналогічних фінансових позиках складає 16%. Необхідно визначити поточну вартість облігації. Як зміниться ціна облігації через 2 роки, якщо відсоткова ставка збільшиться до 20%?

Розв’язок. Використовуємо формулу:

mхN INT/m M 5х2 120: 2 1000

Vв = ∑ ────── + ───── = ∑ ─────── + ─────── =

k=1 (1 + iв/m)^k (1 + iв/m) ^{mх N} k=1 (1 + 0,16/2)^k (1 + 0,16/2)¹⁰

= 60х6,7101+1000х0,4632 = $ 865,81.

Через 2 роки при тій самій відсотковій ставці ціна облігації становитиме:

3х2 60 1000

Vв = ∑ ────── + ───── = 60х4,6229+1000х0,6302 = $ 907,54.

k=1 (1 + 0,08)^k (1 + 0,08) ⁶

Через 2 роки при відсотковій ставці 20% вартість облігації дорівнюватиме:

3х2 60 1000

Vв = ∑ ────── + ───── = 60х4,3553+1000х0,5645 = $ 825,82.

k=1 (1 + 0,10)^k (1 + 0,10) ⁶

Математична модель оцінювання облігації з нульовим купоном має наступний вигляд:

M

Vв = ────.

(1 + iв) ^N

Розглянемо практичне застосування даної моделі.

Приклад. Обчислити поточну вартість облігації з нульовим купоном, вартістю $ 500 і терміном погашення 20 років, якщо прийнята норма прибутку становить 6,5%.

Розв’язок.

M 500

Vв = ──── = ───── = $ 440,83.

(1 + iв) ^N (1+0,065) ²

Пройшло півроку, відсоткова ставка не змінилась. Визначити Vв.

Vв = ────── = $ 454,9.

(1 + 0,065) ^3:2

Пройшло ще 75 днів і відсоткова ставка збільшилась до 7%. В цьому випадку вартість облігації становитиме

500 500

Vв = ───────── = ──── = $ 458,77.

(1 + 0,07) ^{1 + (107:365)} 1,07 ^1,29

У зв’язку з купонною облігацією часто використовується поняття фінансового показника – дюрація – середньозваженої «зрілості» потоку платежів, пов’язаних із цією облігацією. Розрахункова формула для дюрації має наступний вигляд

INT INT INT INT + М

[ ───── х t1 + ───── х t2 + … + ───── х tN-1 + ───── х tN ]

(1 + iв) ¹ (1 + iв) ² (1 + iв) ^N-1 (1 + iв) ^N

D = ────────────────────────────────────────,

Po

де tk - момент часу, в якому здійснюється k-та купонна виплата,

Po – ринкова вартість облігації на теперішній момент часу.

Зміст дюрації полягає в тому, що інвестор з її допомогою намагається виміряти ризик своїх вкладень в облігації. За визначенням дюрація означає «тимчасове очікування» деякого агрегованого грошового потоку, який за фінансовою значимістю еквівалентний всій сукупності грошових виплат, пов’язаних з облігацією. Дюрація – момент часу, коли виникає цей агрегований платіж. Чим більша величина дюрації, тим більш ризиковане вкладення грошей у дану облігацію. Як правило, поняття дюрації використовується, коли оцінюється портфель облігацій інвестора.

Приклад. Розрахувати величину дюрації, якщо облігація має наступні показники:

сума до погашення – $1000;

відсоткова ставка облігації – 12,8%;

кількість періодичних виплат на рік – 2;

поточна відсоткова ставка – 14,0%;

кількість років до погашення – 6.

Виконаємо елементарні розрахунки, в тому числі використовуючи формулу:

N INT M

Vв = ∑ ───── + ─────.

k=1 (1 + iв) ^k (1 + iв) ^N

Величина відсоткової виплати – 1000 х (0,128: 2) = $64,0.

Кількість періодів – 6 х 2 =12.

Періодична відсоткова ставка – 14: 2 = 7,0%.

Оцінка облігації – 952,34.

12 64 1000

Vв = ∑ ───── + ─────── = $952,34.

k=1 (1 + 0,14) ^k (1 + 0,14) ¹²

Розраховуємо дюрацію, використовуючи таблицю.

Таблиця 4.1

Приклад розрахунку дюрації

Номер періоду	Величина виплати	Дисконтована величина виплати	(1) х (3)
	64,0	59,81	59,81
	64,0	55,90	111,80
	64,0	52,24	156,73
	64,0	48,83	195,30
	64,0	45,63	228,16
	64,0	42,65	255,88
	64,0	39,86	278,99
	64,0	37,25	297,99
	64,0	34,81	313,31
	64,0	32,53	325,34
	64,0	30,41	334,47
	1064,0	472,43	5669,14
ВСЬОГО	8226,91

(64: (1+0,14: 2) ¹ = $59,81 і т. д.

Отримаємо величину дюрації:

8266,91

D = ────── = 8,64 періоди = 4,32 роки.

952,34

Безкупонна (дисконтна) облігація. В процесі емісії такі облігації продаються зі знижкою (дисконтом). Величина знижки визначається відсотковою ставкою по даній облігації. Зазвичай дисконтні облігації мають термін погашення від 1 до 3 років, вони оцінюються за формулою

M 1000

P2 = ──────── або ─────────,

(1 + iв х n) t

(1 + iв х ──)

T

де t – кількість днів до погашення облігації;

T – кількість днів у році.

Вивчимо оцінювання вартості такої облігації за допомогою прикладу.

Приклад. Облігація з терміном погашення 1 рік та сумою до погашення $1000 була повністю реалізована фінансовим інститутом за ціною $782 за штуку. Підприємство А купило 10000 цих облігацій. Пройшло 120 днів та підприємство вирішило продати облігації на вторинному ринку. Поточна відсоткова ставка по боргових інструментах тривалістю 1 рік на момент продажу становила 36%. За якою ціною підприємство може продати ці облігації і який дохід воно може отримати?

Розв’язок. Використовуємо формулу для безкупонних облігацій

M 1000

P2 = ──────── = ──────────── = $805,2.

t (1 + 0,36 х 245:365)

(1 + iв х ──)

Таким чином, очікуваний дохід становитиме

D1 = (805,2 – 782) х 10 000 = $232 000.

Приклад розрахунку вартості облігації, випущеної на умовах виплати всієї суми при погашенні.

Оцінити вартість облігації, випущеної терміном на 1 рік, номіналом 200 грн. з виплатою всієї суми відсотків при погашенні за ставкою 36% до номіналу, якщо до погашення залишилось 6 місяців і ставка прибутковості становить 60% річних.

Розв’язок. Скористаємося моделлю оцінки вартості облігації з виплатою всієї суми відсотків при її погашенні

M + INT 200 + 200х0,36

Vв = ────── = ────────── = 215,03 грн.

(1 + iв) ^N (1+0,60) ^6:12

Математичний інструментарій оцінювання простих і привілейованих акцій

Базове рівняння ринкової вартості акцій полягає в тому, що дійсна ринкова вартість акції (Vs) – це поточна вартість очікуваних у майбутньому дивідендів. Оцінювання вартості простої акції здійснюється за формулою

∞ D1

Vs = ∑ ────,

k=1 (1 + rs)^t

де D1 – розмір дивідендів, виплачуваних в t-році,

rs – прибутковість звичайних акцій, які використовуються в якості показника дисконта для приведення дивідендних виплат до теперішнього моменту часу.

Далі вся послідовність дивідендів розбивається на дві групи:

1-а група – дивіденди протягом відомого часового проміжку.

2-а група – нескінченна послідовність дивідендів, що залишилися, які замінюють термінальним значенням (T).

Нехай N – кількість років відомого часового проміжку, тоді з урахуванням вартості грошей у часі отримаємо

D1 D2 DN T

Vs = ─── + ──── + L + ──── + ────.

(1 + r) (1 + r)² (1 + r)^N (1 + r)^N

У межах відомого часового проміжку дивіденди прогнозуються для кожного року окремо.

Для другої групи дивідендів робиться припущення у відношенні темпу росту:

незмінне значення D', або нульовий темп росту (g = 0);

деякий позитивний темп росту дивідендів (g > 0).

Отже, розрахунок термінального значення може здійснюватись в одному з двох варіантів:

Якщо g = 0, то

D'

T = ──.

r

Якщо g > 0, то використовується формула Гордона

D'1

T = ───.

r –g

У цих формулах в якості дивіденду використовується перша після закінчення відомого часового проміжку величина дивіденду, що планується до виплати.

Приклад. Підприємство за останній рік виплатило по дивідендах на одну акцію 0,50 грн. Протягом найближчих двох років темп росту дивідендів складе 6%. В послідуючому дивіденди зростатимуть з темпом 4%. Необхідно оцінити ринкову вартість цієї акції, якщо її прибутковість знаходиться на рівні 12%.

Розв’язок. Розрахуємо дивіденди, які виплачувались найближчі два роки:

D1 = 0,50 х 1,06 = 0,53 грн.

D2 = 0,53 х 1,06 = 0,562 грн.

Величина дивіденду, запланованого в кінці третього року, складе:

D3 = 0,562 х 1,04 = 0,584 грн.

Знайдемо термінальне значення за формулою Гордона:

D'1 0,584

T = ─── = ───── = 7,3 грн.

r – g 0,12 – 0,04

Знайдемо оцінку звичайної акції підприємства за формулою:

D1 D2 DN T

Vs = ─── + ──── + L + ──── + ────

(1 + r) (1 + r)² (1 + r)^N (1 + r)^N

0,53 0,562 7,3

Vs = ──── + ───── + ───── = 6,74 грн.

1 +0,12 (1 + 0,12)² (1 + 0,12)²

Особливість привілейованих акцій в тому, що капітал вкладається на невизначений проміжок часу, а величина дивідендів фіксована. Зазначені фактори визначають спосіб оцінювання цих акцій як нескінченного ануїтету.

∞ Dp Dp

Vp = ∑ ──── = ───.

k=1 (1 + r)^k r

В якості норми прибутковості використовується прибутковість аналогічних привілейованих акцій, які обертаються на ринку.

Приклад. На час емісії привілейованих акцій кожний інвестор заплатив 200 грн. за акцію, отримавши на заміну зобов’язання емітента виплачувати йому щорічно 25 грн.

Знайти поточну прибутковість акції та вартість акції після двох дивідендних виплат, якщо інвестор вирішив продати акції, а прибутковість акції через два роки збільшиться на 0,5%.

Розв’язок. У даному випадку ми маємо нескінченний ануїтет 25 грн. Поточна прибутковість акції становить

Dр 25

r = ─── = ─── = 0,125 = 12,5%.

Vp 200

Термінальне значення дорівнює

Dp 25

T = ─── = ─── = 200 грн.

r 0,125

Оцінимо вартість термінального значення Т, тобто вартість акції через два роки

Dp Dp Т 25 25 200

T = ──── + ──── + ──── = ────── + ────── + ───── = 200 грн.

(1 + r)¹ (1 + r)² (1 + r)² (1 + 0,125) (1 + 0,125)² (1 + 0,125)²

Оцінимо вартість привілейованої акції, припускаючи, що через два роки відсоткова ставка збільшиться на 0,5% та буде дорівнювати 13%. Тоді термінальне значення складе

T = ─── = 192,31 грн.

13%

Оцінимо ринковий курс акції за умови, що інвестор збирається продавати акції через два роки

25 25 192,31

Vp = ────── + ────── + ────── = 193,92 грн.

(1 + 0,125) ¹ (1 + 0,125)² (1 + 0,125)²

4.2.5. Складання графіка повернення довгострокових кредитів

Корпорації можуть залучати кредитні ресурси, які повертаються в процесі діяльності або реалізації інвестиційних проектів. Сума кредиту зазвичай компенсується поступово протягом його терміну. Розрізняють два типи порядку погашення: періодичними внесками і рівномірними внесками («амортизаційне» погашення кредиту).

Погашення кредиту періодичними внесками. При цьому способі основну кредитну суму виплачують протягом усього його терміну. Проте порядок погашення такий, що після закінчення терміну від суми кредиту залишається достатньо значна сума, яка підлягає поверненню.

Приклад. Уявімо собі, що корпорація отримує кредит в сумі 100000 грн. терміном на 5 років. Платежі в рахунок погашення кредиту вносяться щорічно в сумі 12000 грн. плюс відсотки за ставкою 22%. Таким чином, у кінці п’ятилітнього періоду вже будуть здійснені 4 платежі по 12000 грн. (всього 48000), і залишається невиплаченою сума в 52000 грн., яку повністю виплачують по закінченні терміну кредиту. Такий порядок погашення подамо в таблиці:

тис. грн.

Рік	Початковий баланс боргу	Погашення боргу	Відсотки	Річна виплата	Кінцевий баланс боргу
	100,000	12,000	22,000	34,000	88,000
	88,000	12,000	19,360	31,360	76,000
	76,000	12,000	16,720	28,720	64,000
	64,000	12,000	14,080	26,080	52,000
	52,000	52,000	11,440	63,440	-
		100,000	83,600

Зауважимо, що відсотки нараховуються, виходячи з величини початкового на поточний рік балансу боргу.

Кредит може бути виплачений рівними внесками. Відсоток виплачують по непогашеній частині боргу, тому загальна сума внеску по погашенню основної суми і відсотка зменшується по мірі того, як минає термін кредиту. Внески по погашенню основної суми не змінюються. Проте кожна наступна відсоткова виплата менша за попередню, так як непогашена частина основної суми, що залишилась, зменшується. У такому випадку графік обслуговування боргу має наступний вигляд:

Рік	Початковий баланс боргу	Погашення боргу	Відсотки	Річна виплата	Кінцевий баланс боргу
	100,000	20,000	22,000	42,000	80,000
	80,000	20,000	17,600	37,600	60,000
	60,000	20,000	13,200	33,200	40,000
	40,000	20,000	8,800	28,800	20,000
	20,000	20,000	4,400	24,400	-
		100,000	66,000

При порівнянні таблиць можна дійти висновку, що сума відсоткових платежів у першому варіанті закономірно вища.

«Амортизаційне» погашення кредиту. При такому способі основну суму кредиту виплачують поступово протягом терміну кредиту. Платежі здійснюються рівними сумами регулярно, і вони включають визначену частину суми кредиту і відсоток. Суму кредиту погашають разом з останнім внеском. Цей принцип використовують при іпотечному кредитуванні. Багато західних кредитних інвесторів використовують дану схему в якості базового графіка повернення боргу підприємством-позичальником.

Приклад. Кредитний інвестор пропонує підприємству кредит під 12% річних терміном на 4 роки по схемі повернення боргу щопівроку. Планується залучити 800 тис. грн. Необхідно розрахувати графік обслуговування боргу.

Перш за все потрібно обчислити величину піврічної виплати. При розрахунку цієї суми використовується концепція оцінки вартості грошей у часі – приведена до теперішнього часу сума всіх платежів повинна дорівнювати сумі кредиту.

Якщо PMT – невідома величина річної виплати, а S – величина кредиту, то при відсотковій ставці кредиту і кількості періодичних платежів n величина РМТ може бути обчислена за допомогою рівняння

PMT PMT PMT

S = ──── + ──── … + ────

(1 + і)¹ (1 + і)² (1 + і)^п

Розрахунок можна здійснити за допомогою фінансових таблиць або Excel. Для нашого прикладу сума річного платежу дорівнює 128, 829 тис. грн.: