Задачи на простые проценты

Задача 1. Банк концерна "А" с целью оказания финансовой помощи выдал ссуду 10 млн. руб. дочернему предприятии под 20% годовых сроком на 3 года. Проценты простые. Определить сумму возврата ссуды и доход банка.   Решение: Сумма наращения денег по простым процентам S = P (1 + ni), где P - сумма кредита; n - срок кредита, лет; i - процентная ставка. Таким образом, сумма возврата ссуды составит: S = 10 (1 + 3*0,2) = 16 млн. руб. Доход банка - разность между суммой выдачи и суммой возврата (т.е. величина процентов по ссуде): 16 - 10 = 6 млн. руб.

Задача 2. Определить проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 7 млн. руб., срок долга - 4 года по ставке простого процента, равной 10% годовых. Решение: Сумма наращения денег по простым процентам S = P (1 + ni), где P - сумма кредита; n - срок кредита, лет; i - процентная ставка. Таким образом, сумма накопленного долга составит S = 7 (1 + 0,1*4) = 9,8 млн. руб. Сумма процентов J = S - P = 9,8 - 7 = 2,8 млн. руб.

5.2. Сложные проценты

Если ссуда выдана на некоторый срок и проценты начисляются один раз в конце этого срока, то простые и сложные проценты не различаются, наращенная ссуда будет одной и той же. Эффект сложных процентов возникает тогда, когда срок ссуды разбит на несколько интервалов, в конце каждого интервала начисляются проценты и присоединяются к сумме, накопленной на начало интервала.

Простые проценты начисляются на начальную величину ссуды, сложные – на ссуду с наращением на момент начисления процентов. На рис 5.2.1 показана схема начисления процентов, когда ссуда выдана на целое число лет, а сложные проценты начисляются раз в год.

Обозначим:

Р – ссуда;

j – годовая ставка сложных процентов;

n – номер года;

S_n – наращенная ссуда в конце года n;

S₁=P(1+j);

S₂=S₁(1+j)=P(1+j)²­­­­­­­.

По индукции:

S_n = P (1+ j) ⁿ ­.

Формула выведена для целого n, но она справедлива для любого не отрицательного действительного числа n.

- за полгода

– за квартал

Формула выведена для целого n, но она справедлива для любого не отрицательного действительного числа n. Напр., за полгода, а за квартал.

В банковской практике начисление сложных процентов по депозитам производится несколько раз в год – за месяц, квартал, полугодие. При этом по ставке за интервал нужно вычислять годовую доходность и наоборот, - по годовой ставке процента определять эквивалентную по доходу ставку на интервал менее года.

Обозначим:

m – число интервалов в году;

t – номер интервала;

Р – ссуда;

S_t – ссуда с наращением в конце интервала t;

j – годовая эффективность ссуды;

g – ставка сложных процентов на интервал.

Чтобы ставки j и g были равноэффективны, необходимо, чтобы выполнялось равенство:

P (1+ j)= P (1+ g) ^m;

или

(1+j)=(1+g)^m.

Отсюда по ставке процента за интервал можно вычислить равноэффективную ставку за год.

j=(1+g)^m – 1.

И наоборот, – по годовой ставке процента можно вычислить равноэффективную ставку сложных процентов за интервал.

Дисконтирование (учет)

До сих пор рассматривалась процедура наращения: выданная ссуда Р с течением времени наращивалась процентами и превращалась в ссуду с процентами S. Ставка наращения определялась отношением процентов за год I к ссуде Р. В банковском деле применяется также процедура дисконтирования (учета), которая появилась из операции учета векселей. Вексель – обязательство вернуть указанную в векселе сумму (номинал векселя, обозначим его S), в указанный срок. Если держатель векселя (его собственник в данный момент) желает обменять вексель на деньги, он обращается в банк с предложением учесть имеющийся у него вексель, т.е. купить его за сумму Р, меньшую, чем номинал S. Такая сделка называется дисконтированием, а сумма скидки с номинала – дисконтом.

Обозначим:

S – номинал векселя;

1 год – срок действия векселя;

D – дисконт, т.е. скидка с номинала при учете векселя;

Р – цена векселя, т.е. сумма денег, которую получит продавец векселя при его учете.

D = S - P или P = S - D.

Обозначим: d – учетная ставка,

.

Еще одно отличие процедур учета и наращения. При наращении ставка i считается на величину ссуды Р, а при дисконтировании учетная ставка d считается на номинал векселя S.

Сопоставим:

Эта формула справедлива при годичном сроке векселя. Пусть срок действия векселя n лет, где n – неотрицательное число, в том числе дробное. Формула для расчета Р примет вид: P = S(1 - nd). Видно, что n и d могут быть такими, что может оказаться nd > 1 и Р станет меньше нуля. Это, конечно же, невозможно: никто не согласится отдать вексель, да еще уплатить за это сумму, равную S (nd -1). Поэтому дисконтирование применяют так, чтобы было 1 > nd > 0.

Номинальная и реальная ставки процента

Пусть ссуда P выдана под ставку процента i на год. Через год нужно вернуть эту ссуду с процентами S = P (1 + i). Если имеет место инфляция с темпом j, то за год величина S обесценится.

Обозначим:

S_н – номинальная ссуда с процентами;

S_р – реальная ссуда с процентами, т.е. покупательная способность S_н;

r – реальная ставка процента;

i – номинальная ставка процента;

j – темп инфляции.

С учетом принятых обозначений, формулы наращения примут вид:

S_н = P(1 + i);

S_P = P(1 + r);

S_н = S_P (1 + j) = P(1 + r)(1 + j).

Последнюю формулу нужно понимать так: ссуда Р за год реально выросла по ставке r и за счет инфляции по темпу инфляции j. Вместо S_н подставим ее значение:

P(1 + i) = P(1 + r) (1+ j) или (1 + i) = (1 + r)(1 + j)

Произведя преобразования, получим:

Это точная формула расчета реальной ставки процента по известным величинам номинальной ставки процента и темпу инфляции. При низких темпах инфляции применяют приближенную формулу r = i - j. При значительной инфляции нужно применять точную формулу.