Перехід до хаосу при розв'язку систем звичайних диференціальних рівнянь

Як видно з моделі "хижак-жертва", при розв'язку систем диференціальних рівнянь можливі як стаціонарні розв'язки, так і замкнуті траєкторії (граничні цикли). Такі розв'язки називаються аттракторами (притягуючими множинами) на тій основі, що конкретний розв'язок рівняння сходиться до того аттрактора, в область притягання якого він попадає. Виявляється, що можливі ще й хаотичні розв'язки, тобто зарані неможливо передбачити, в якому стані система буде через певний час. Це зв'язано з великими спотвореннями рішення при незначних відхиленнях в початкових умовах або в самому рішенні на попередньому кроці по часу.

Одну з перших моделей хаотичної поведінки цілком детерміністичних рівнянь запропонував Лоренц. Система Лоренца описує зв'язок швидкості рідини Х з величинами Y i Z, які характеризують температуру системи:

(5.20)

Тут r= , де R - число Релея; s - число Прандтля, b- константа (b= ).

Завдання 8. Дослідити поведінку даної системи, використавши програму при слідуючих наборах даних:

До часу 20 с:

1) s=10, r= 0.9, початкова умова X = 0;

2) s=10, r= 20, початкова умова X = -10, 10;

До часу 120 с:

1) s=10, r= 28, початкова умова X = 15.

5.6. Крайові задачі

В деяких задачах необхідно розв’язувати диференціальні рівняння виду (5.21)

на проміжку , з граничними умовами, заданими в початковій і кінцевій точках y(0)=a; y(1)=b.

Такі задачі називаються двохточковими крайовими задачами. При цьому задача суттєво відрізняється від задачі Коші, коли розв’язок виходить з початкової точки і на нього не накладаються більш ніякі граничні умови.

Наприклад, необхідно щоб тіло кинуте під кутом до горизонту, пролетіло б певну відстань. При цьому необхідно чітко установити початкову швидкість і кут вильоту.

Метод 1. Перший підхід заснований на методі стрільби, коли аналізується дальність польоту при першому наборі параметрів V,a. Далі визначається змінна, яку необхідно підбирати, нехай це буде V₀. Якщо отримано недоліт, то V₀ збільшують і знову розв’язують задачу Коші. При перельоті V₀ зменшують. Запуски тіла проводять до тих пір, доки різниця між правою граничною точкою і точкою падіння не стане меншою за задане число e.

Така постановка задачі нагадує розв’язок нелінійного рівняння f(V₀)=0. Запишемо можливий вигляд функції f(V₀). Нехай y(l, V₀) - розв’язок задачі при початковій швидкості V_0. Тоді .

В загальному випадку, коли маємо систему n диференціальних рівнянь першого порядку з m-невідомими граничними умовами в лівій граничній точці і m-відомими граничними умовами в правій граничній точці можливо використовувати метод стрільби. При цьому задано n граничних умов.

Для розв’язку присвоюємо m-невідомим значенням функції в лівій граничній точці певні значення S₁,S₂,…S_m і розв’яжемо задачу Коші. Якщо розв’язки задачі Коші співпадуть з відомими граничними значеннями, значить крайова задача розв’язана, в іншому випадку міняємо неспівпавші ліві граничні умови і повторюємо алгоритм. Тобто задача зводиться до розв’язку системи m нелінійних рівнянь.

Нестійкість методу стрільби розглянемо на прикладі розв’язку рівняння , з граничними умовами u(0)=1, u(1)=0.

Точний розв’язок крайової задачі має вигляд . Отримаємо розв’язок методом стрільби . Точний розв’язок відповідної задачі Коші

(5.22)

Такий розв’язок крайової задачі отримаємо при .

Метод 2. Метод кінцевих різниць для лінійних задач.

Нехай потрібно розв’язати рівняння

, (5.23)

при граничних умовах: y(0)=a; y(1)=b.

Похідні розпишемо через кінцеві різниці:

(5.24)

Перепишемо рівняння (5.23) з використанням (5.24):

, (5.25)

де i=1,2,…n; y₀=a; y_n+1=b;

Перегрупувавши доданки, отримуємо:

, (5.26)

, де

(5.27)

В матричній формі рівняння мають вигляд:

(5.28)

далі система розв’язується одним із методів розв’язку системи лінійних рівнянь.