Параболічні рівняння

Проведемо експеримент по розповсюдженню тепла слідуючим чином:

1) Візьмемо стержень довжиною L = 2 м, діаметром 2 см. Бокова поверхня стержня ізольована. Тепло розповсюджується лише через торці.

2) Помістимо стержень в термостат з Т= 10⁰ C на час, достатній для вирівнювання температури всередині стержня.

3) Вийнявши його, до торців під'єднуємо термоелементи з T₁ = 0⁰С і T₂ = 50⁰C, які підтримують постійну температуру торців.

4) Слідкуємо за профілем T, тобто будуємо графіки залежності U(x) для різних моментів часу.

Математична модель теплопровідності включає:

1) Рівняння з частинними похідними

, 0<x<L, 0<t< , (6.5)

яке описує процес теплопередачі.

2) Граничні умови, які описують теплообмін на границях при x=0 та x=L.

3) Початкові умови, які описують стан системи в початковий момент при t=0 для всіх x.

Рівняння теплопровідності включає:

U_t - швидкість зміни температури в часі (град/с);

U_xx. - вигнутість температурного профілю U(x,t) (міра відмінності температури в даній точці від сусідніх точок; вимірюється в град/м²).

Рівняння

(6.6)

отримано з рівняння закону збереження кількості теплоти і говорить про те, що температура U(x,t) (в деякий момент часу і в деякій точці x) збільшується (U_t>0) або зменшується (U_t<0) в залежності від того додатня чи від'ємна друга похідна.

Рис.6.1

З рисунку 6.1. видно:

1) Якщо U(x,t)< середнього значення T в сусідніх точках, то U_xx>0 (потік вздовж вісі x додатній).

2) Якщо U(x,t) дорівнює середньому значенню температури в сусідніх точках, то U_xx=0.

3) Якщо U(x,t)> середнього значення в сусідніх точках, то U_xx<0.

Для виділення частинних розв’язків необхідно задати:

граничні умови:

, 0<t< , (6.7)

початкові умови:

U(x,0)=T₀, 0 x L. (6.8)

6.3. Задачі дифузійного типу

a) Теплообмін через бокову поверхню пропорційний різниці температур:

, (6.9)

при цьому

a²U_xx - дифузія тепла,

b(U-U₀) - теплообмін через бокову поверхню.

Якщо b>0, то відбувається відтік тепла; якщо b<0 - притік тепла.

б) Якщо існує внутрішнє джерело тепла, то рівняння приймають вигляд. . (6.10)

в) Рівняння конвективної дифузії. Нехай домішки розповсюджуються вздовж потоку, який рухається зі швидкістю V. Тоді

. (6.11)

При цьому частки рухаються конвективно за рахунок руху гарячого повітря і дифундують за рахунок вихрових рухів повітря.

г) Рівняння дифузії

(6.12)

6.4. Типи граничних умов

1) Граничні умови I-го роду (на границі задана температура T₁ i T₂):

Рис.6.2.

2) Граничні умови II-го роду (задана температура навколишнього середовища)

Рис.6.3.

Витікаючий потік тепла при x = 0 рівний

, (6.13)

при x = L рівний

, (6.14)

K - коефіцієнт теплообміну, тобто скільки калорій проходить через границю за одну секунду при різниці температур 1⁰С. Витікаючий потік більше 0, якщо Т стержня > Т середовища, та менше 0, якщо Т стержня < Т середовища.

При цьому використовується закон Фур'є. Потік тепла, який проходить через границю області, пропорційний нормальній похідній температури в напрямку внутрішньої нормалі.

3) Граничні умови III-го роду (заданий потік):

, 0<t< . (6.15)

РОЗДІЛ 7
Кінцево-різницеві апроксимації та параболічні і гіперболічні диференціальні рівняння