Использование регрессионного анализа при обработке геофизической информации

При изучении корреляционных связей между различными экспериментальными геофизическими данными, при решении задач аппроксимации экспериментальных данных непрерывной функцией возникают задачи определения вида аналитической зависимости. Эти задачи решает регрессионный анализ. Регрессия сводится к определению коэффициентов из условия минимальности суммы квадратов отклонений экспериментальных и теоретических значений (метод наименьших квадратов). Это условие реализуется при решении системы нормальных уравнений, построенной по экспериментальным значениям. В матричной форме систему нормальных уравнений можно записать в виде:

, 7.1

где F - прямоугольная матрица размерности (), задающая значения функции при проведении n наблюдений:

; 7.2

A - вектор искомых оценок коэффициентов уравнения регрессии размерности k+1:

; 7.3

Y – n-мерный вектор наблюдений:

. 7.4

Система 7.1 всегда имеет решение при . Это решение – вектор A оценок коэффициентов, удовлетворяющих условию МНК.

Самый простой и наиболее часто используемый вид регрессии – линейная.Линейной регрессией между величинами X и Y называется корреляционная зависимость вида

Y = a₀ + a₁ X 7.5

В этом случае система нормальных уравнений примет вид:

7.6

Удобно рассчитывать коэффициенты линейной регрессии через коэффициент корреляции. Можно показать, что

7.7

, 7.8

где – оценки математических ожиданий и дисперсий соответствующих выборок.

Линейная регрессия широко используется при определении одного физического параметра по известным значениям другого. Так по пластовой скорости продольных волн можно определить плотность горных пород, если выявлена корреляционная зависимость между ними. Часто оценивают глубину залегания геологической границы по данным гравиметрии или магнитометрии. Регрессию также можно рассматривать как один из способов сглаживания экспериментальных данных.

Средствами MATHCAD можно рассчитать коэффициенты линейной, полиноминальной регрессии, а также регрессии других типов. Некоторые функции приведены в таблице 7.1.