Лабораторная работа №3. Статистическая обработка геофизических данных, представленных выборками случайных величин (на примере обработки измерений физических свойств горных пород)

Статистическая обработка геофизических данных, представленных выборками случайных величин (на примере обработки измерений физических свойств горных пород). Расчет числовых характеристик одномерной выборки

Для каждого распределения можно рассчитать некоторые постоянные числовые характеристики, некоторые из которых являются параметрами распределения. Распределение той или иной случайной величины изучается по выборкам. Состав и объем выборки в каждом конкретном случае может быть различным. Очевидно, мы не можем определить точное значение той или иной характеристики, а лишь приближенно ее оценить. Приближенное значение числовой характеристики, полученное по наблюденным данным, называется оценкой. При статистической обработке данных возникает необходимость получения различных интервальных и точечных оценок числовых характеристик. В таблице 3.1 приведены формулы для расчета точечных оценок основных числовых характеристик случайной величины и формулы их расчета по выборке наблюденных данных.

Таблица 3.1

Числовая характеристика	Расчетная формула	Функция MATHCAD
Математическое ожидание (Среднее значение) МХ		mean(x)
Дисперсия DX		var(x     Var(x)
Среднеквадратическое отклонение (стандарт) s	/	stdev(x) Stdev(x)

Очевидно, что, оценка Q числовой характеристики некоторой случайной величины сама является случайной величиной и зависит от конкретных наблюденных значений. Говорят, что для данной выборки истинное значение числовой характеристики случайной величины с вероятностью g находится в доверительном интервале (Q - e, Q + e). Вероятность g называется доверительной вероятностью или уровнем доверия, а величина e -точностью или абсолютным отклонением оценки.

Доверительная вероятность и доверительный интервал взаимосвязаны. При неизменном объеме выборки нельзя уменьшить доверительный интервал (увеличить точность оценки) не уменьшив доверительную вероятность. Получить интервальную оценку числовой характеристики означает определить интервал, внутри которого эта числовая характеристика будет находиться с вероятностью γ = (1-α) для выборки объема n. Для определения интервальных оценок существуют формулы, с использованием значений гамма-квантилей нормального стандартного распределения, распределения , Стьюдента, Фишера и др.

Ниже приводятся формулы расчета интервальной оценки математического ожидания нормально распределенной случайной величины

3.1

где ε – точность оценки, σμ – среднеквадратичное отклонение оценки, tγ – гамма- квантиль (0,1)-нормального распределения, n – объем выборки

Формулы (3.2) позволяют определить интервальную оценку дисперсии – числовой интервал, в котором с вероятностью γ = 1-α находится дисперсия нормально распределенной случайной величины, с помощью -распределения.

3.2

где L₁, L₂ - границы интервала, -квантиль распределения с (N-1) степенями свободы, -квантиль распределения с (N-1) степенями свободы, σ₁ – стандартное отклонение в соответствующей нормировке.